Chiziqli funksionallar va operatorlar

3. Evklid fazosi.

E to’plam xaqiqiy vektor fazoning har bir juft x va u elementlariga

(x, u) ko’rinishda belgilanadigan haqiqiy sonni mos qo’yuvchi funkstional kuyidagi shartlarni qanoatlantirsa:
1)
2)
3)
4)
u holda bu funkstionalni skalyar ko’paytma, E fazoni esa bu skalyar ko’paytmaga nisbatan Evklid fazosi deyiladi.
Skalyar ko’paytma yordamida Evklid fazosidagi ning normasini (1) ko’rinishda aniqlash mumkin. Demak, Evklid fazosi normalangan fazoning hususiy holidir.
Evklid fazosining yana bir qulaylik tomoni shundan iboratki, undagi ixtiyoriy ikkita vektor orasidagi burchakni aniqlash mumkin, chunki xar qanday x va u vektorlar uchun tengsizlikdan foydalanib x va u lar orasidagi burchakning kosinusini tenglik bilan aniqlash mumkin. Agar (x, u)=0 bo’lsa, x va u vektorlar ortogonal deyiladi va ko’rinishda belgilanadi. Agar x vektor A to’plamning xar bir elementiga ortogonal bo’lsa, x element A to’plamga ortogonal deyiladi va uni ko’rinishda belgilanadi. A_1­­ to’plamning xar bir elementi A₂ to’plamning ixtiyoriy elementiga ortogonal bo’lsa A₁ va A to’plamlar ortogonal deyiladi va ko’rinishda belgilanadi.
Evklid fazosidagi elementlar uchun o’rinli bo’lgan ba’zi xossalarni isbotlaymiz:
1. Agar Evklid fazosidagi x_n va y_n ketma – ketliklar norma ma’nosida mos ravishda x va u elementlarga intilsa, ( x_n , y_n) sonli ketma – ketlik (x, u) songa yaqinlashadi.

u_n ketma – ketlik yaqilashuvchi bo’lganligidan uning normasi chegaralangan bo’ladi. Demak, oxirgi qo’shiluvchilar da 0 ga intiladi.
2. Evklid fazosining ixtiyoriy x, u elementlari uchun
tenglik o’rinlidir.
3. xu₁ va xu₂ munosabatlardan x
4. ketma – ketlikning xadlari uchun xu_p (p=1,2,....) bajarilsa va ketma – ketlik u elementga yaqinlashsa, u xolda xu bo’ladi.
Isboti. (x,u_p)=0 va u_pu lardan (x,u_p) (x,u) kelib chiqadi. Lekin (x,u_p)=0. Shuning uchun (x,u)=0 ya’ni xu ekanini xosil qilamiz.
5. Agar xA bo’lsa, u xolda .
E Evklid fazosining noldan farqli bo’lgan elementlaridan iborat sistemasi uchun (x_,u_)=0, (≠) munosabat bajarilsa, bu sistemani ortogonal sistema deyiladi. Ortogonal sistemaning chiziqli erkli bo’lishi tabiydir.
E Evklid fazosi bo’lib, A uning qisi to’plami bo’lsin. A to’plamdan olingan ixtiyoriy chekli sondagi elementar x₁, x₂,.... x_p ning chiziqli kombinastiyasi, ya’ni (R) ko’rinishdagi elementlar to’plami A to’plamning chiziqli qobig’i deyiladi va uni L(A) ko’rinishda belgilanadi. L(A) to’plam E ning qism fazosi bo’ladi. L(A) ning yopilmasi esa A to’plamning chiziqli yopilmasi deyiladi. Agar ortogonal bazisga kiruvchi har bir vektorning uzunligi birga teng bo’lsa, bu sistemani ortonormal bazis deyiladi.
Misollar. 1. R_n fazodagi ikkita x=(x_1, x₂,…x_n) va y=(y₁,y₂,… y_n) elementlarning skalyar ko’paytmasini (x,u)= tenglik bilan aniqlasak, R_n fazo Evklid fazosiga aylanadi. Bu fazodagi
l₁=(1,0,…,0)
l₂=(0,1,0,…,0)
.......................
l_n=(0,…,0,1)
ko’rinishdagi elementlar ortogonal bazis tashkil etadi.
2. l₂ – fazo shartni qanoatlantiruvchi x=(x_1, x₂,…x_n) ketma – ketliklardan iborat bo’lib, undagi ikkita vektorning skalyar ko’paytmasini (x,u)= (2) tenglik bilan aniqlasak, bu fazo ham Evklid fazosiga aylanadi. (2) tenglik o’ng tomonidagi ifodaning chekliligi quyidagi tengsizlikdan kelib chiqadi.

l₂ Evklid fozosidagi quyidagi vektorlar sistemasi uning ortonormal bazisini tashkil etadi.
P₁=(1,0,…,0)
P₂=(0,1,0,…,0)
P₃=(0,0,1,0….)
.......................
Bu ortonormal bazis to’la sistema ekanligini ko’rsatamiz, ya’ni l₂ fazodagi ixtiyoriy x=(x_1, x₂,…x_n,...) vektor sistemadagi vektorlar chiziqli kombinastiyasidan topgan qandaydir ketma – ketlikning limitik nuqtasi ekanini isbotlaymiz. Buning uchun quyidagi vektorlar ketma – ketligini ko’ramiz.
Y₁=(x₁,0,…)
Y₂=(x₁, x₂,0,…)
Y₃=( x₁, x₂, x₃,0….)
.......................
Y_p=( x₁, x₂,....., x_p,0,….)
ketma – ketlikning har bir hadi sistemadagi vektorlarning chiziqli kombinastiyasidan iborat. Ikkinchi tomondan da bajariladi, ya’ni A sistemaning chiziqli yopilmasi l₂ ga teng.
Har qanday chekli o’lchovli Evklid fazosida ort onormal bazisni mavjud bo’lishi algebra kursida o’rganilgan. Berilgan chiziqli erkli sistema orqali ortonormal bazisning qurilishi ortonormallashtirish prostessi deb nomlangan. Xuddi shu usul bilan ixtiyoriy Evklid fazosida ortonormal bazisning mavjudligini ko’rsatish mumkin.
Ta’rif. Evklid fazosi metrik fazo sifatida separabel bo’lsa, uni separabel Evklid fazosi deyiladi.
Har qanday cheksiz o’lchamli separabel Evklid fazosida sanovli ortonormal bazis mavjud bo’ladi.
Xaqiqatdan ham, agar sanoqli, hamma erda zich to’plam bo’lsa, bu sistemadan to’la chiziqli erkli sistemani ajratib olamiz, ya’ni yuqoridagi sistemaning chiziqli erkli qism sistemasi bo’lib, uning chiziqli yoyilmasi butun fazoga teng bo’lsin. Bunday A sistemani ajratib olish uchun chekli sistemadagi biror element, masalan, boshqalarining chiziqli kombinastiyasidan iborat bo’lsa, uni bu sistemadan chiqarib yuborish va bu jarayonni cheksiz davom ettirish kerak. Hosil qilingan to’la sistemaga ortonormallashtirish prostessini qo’llasak, ortonormal bazis kelib chiqadi.
Teorema. Evklid fazoning to’ldiruvchisi ham Evklid fazosi bo’ladi.
Isbot. Aytaylik, E Evklid fazosi normallangan fazo sifatida to’la bo’lmasin. E ning to’ldiruvchisini bilan belgilaymiz. fazoda skalyar ko’paytma kiritish mumkinligini ko’rsatamiz. ning x va u elementlarini olamiz. U xolda bu elementlarga yaqinlashuvchi E fazoning elementlaridan iborat va ketma – ketliklar mavjud. sonli ketma – ketlik fundamental ketma ketlikdir, chunki
tengsizliklar o’rinli. Demak mavjud. Shuning uchun x va u elementlarning skalyar ko’paytmasini

Tenglik bilan aniqlash mumkin
Ta’rif. To’la Evklid fazosini Gilbert fazosi deyiladi.
Teorema. Agar N to’plam Gilbert fazosi, esa undagi ixtiyoriy ortonormal sistema bo’lib, bo’lsa, u holda shunday fH element mavjudki, tengliklar o’rinli bo’ladi.
Isboti. deb olamiz.
Bu holda o’rinli bo’ladi. Agar qatorning yaqinlashuvchi (chunki ) ekaeligini e’tiborga olsak, ketma – ketlikning fundamental bo’lishi kelib chiqadi, ya’ni fH element mavjudki bo’ladi.
Agar munosabatlarni xosil qilamiz. Demak tenglik bajariladi.


Tenglikdan kelib chiqadi. Demak, da bajariladi.
Bu teoremadan foydalanib xar qanday cheksiz o’lchamli separabel Gilbert fazosi l₂ fazoga izomorf va izometrik bo’lishi isbotlash mumkin.


Mavzuni takrorlash uchun savol va mashqlar.

1. 
   Evklid fazosining ixtiyoriy, x,y elementlari uchun munosabat o’rinli bo’lishini ko’rsating.
   
2. 
   Evklid fazosining x va y elementlari ortogonal bo’lishi uchun tenglik bajarilishi zarur va etarliligini isbotlang.
   
3. 
   C[0,1] fazoda shu fazodagi norma bilan bir xil yaqinlashishni ifodalaydigan skalyar ko’paytmani kiritish mumkin emasligini ko’rsating.
   
4. 
   l₁ fazoda ham undagi mavjud normao bilan moslashadigan skalyar ko’paytma kiritish mumkin emasligini ko’rsating.
   
5. 
   Separabel Gilberd fazorsidagi har qanday ortonormal sistema sanoqli va chekli bo’lishini ko’rsating.
   
6. 
   Agar ₁, ₂, ... _n Gilbert fazosidagi ortogonal sistema bo’lib bo’lsa, ekanini isbotlang.
   
7. 
   Separabel bo’lmagan Gilbert fazosiga misol keltiring.