Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari. Reja

Tarif. A matritsaning rangi deb noldan farqli minorlarining eng yuqori tartibiga aytiladi. A matritsaning rangi rangA yoki r(A) kabi belgilanadi.

Agar matritsaning rangi k ga teng bo’lsa,bu matrtsaning hech bo’lmaganda bitta noldan farqli k-tartibli minori borligini va k dan yuqori tartibli har qanday minori nolga tengligini bildiradi.

Matritsa rangining xossalari.

1. 
   Nol matritsaning rangi nolga teng.
   
2. 
   Ixtiyoriy (m×n) o’lchamli matritsa uchun r(A)≤min(m,n) bo’ladi.
   
3. 
   Matritsa satr va ustunlarining o’rinlarini almashtirilsa (transponirlansa) matritsaning rangi o’zgarmaydi.
   
4. 
   Matritsani noldan farqli songa ko’paytirilsa uning rangi o’zgarmaydi.
   
5. 
   Matritsadagi hamma nol bo’lgan satr o’chirilsa uning rangi o’zgarmaydi.
   
6. 
   Matritsada elementlar almashtirishlar bajarilsa,uning rangi o’zgarmaydi.
   
7. 
   Elementar almashtirishlar natijasida matritsa o’ziga ekvivalent matritsaga aylanadi.
   

n-tartibli kvadrat A matritsada r(A)=n bo’lishi uchun |A|G0 bo’lishi zarur va yetarlidir.

	1	0	1	0
1-misol. Matritsaning rangini aniqlang	^A=^[1	0	1	0^]
	0	1	0	0

Berilgan A matritsa uchun r(A) ≤ min(3,4)=3. Buni tekshirish uchun hamma uchinchi tartibli minorlarni hisoblaymiz.

1 0 1
1 0 0
1 1 0

^𝑀(1)=[1 0 1^{]=0 , 𝑀(2)=[}1 0 0^{]=0 , 𝑀(3)=[}1 1 0^{]=0 ,}

0 1	0	0	1	0	0	0	0
0 1	0
1 0	0

3 3 3



3
^𝑀(4)=[0 1 0^]=0

Demak, matritsa rangi 2 dan kata emas.Endi noldan farqli ikkinchi tartibli minorini toppish qiyin emas.

2
Masalan , 𝑀 =[^{1 0}]=1. Demak , r(A)=2 ekan
0 1
Matritsa rangini minorlar orqali aniqlash juda qiyin masala.Bundan qulayroq usul sifatida matritani elementar almashtirishlar orqali ekvivalent ko’rinishga keltirish tavsiya etiladi.
2-misol. [1 0 0 0 5 ] ∼ [^{1 0 0 0 5} ] ∼ [^{1 5} ] , [^{1 5} ]=11-

10=1G 0

0 0 0 0 0
2 0 0 0 11
2 0 0 0 11
2 11
2 11

RangA=2

3. 
   misol. Matritsa rangini aniqlang.
   

[3 5 7] ∼ [4 8 12] ∼ [1 2 3] ∼ [^{1 2 3}] , [^{1 2}]=3-2=1G 0

1 2 3
1 3 5
RangA=2
1 2 3
1 3 5
1 2 3
1 3 5
1 3 5 1 3

3. 
   misol. Matritsa rangini aniqlang.
   

2 −1 3 − 2 4
^A=[4 −2 5 1 7 ^]
2 −1 1 8 2
Yechish: ikkinchi satrga (-2)ga ko’paytirilgan birinchi satr elementlarini,uchinchi satrga(-1)ga ko’paytirilgan birinchi satr elementlarini qo’shamiz:
2 −1 3 − 2 4 2 −1 3 − 2 4
^[4 −2 5 1 7 ^{] ∼ [}0 0 −1 5 − 1 ^{] ∼}
2 −1 1 8 2 0 0 −2 10 − 2
Uchinchi satrga (-2) soniga ko’paytirilgan birinchi satr elementlarini qo’shamiz:

2 −1 3 − 2 4
^[0 0 −1 5 − 1 ^{] ∼}
0 0 −2 10 − 2
2 −1 3 − 2 4
^[0 0 −1 5 − 1
0 0 0 0 0
_{] ∼ [}2 −1 3 − 2 4

]
0 0 −1 5 − 1

Noldan farqli elementlari bor satrlar soni 2 ta,demak, r(A)=2.

2
noldan farqli minorlaridan biri 𝑀 =[^{−1 3}
0 −1
]=1. Demak, r(A)=2

Misol. Matritsa rangini aniqlang.
[1 2 1 3 4 ] ∼ [^{1 2 1 3 4}] , [^{1 2}]=4-6=-2G 0 RangA=2

3 4 2 6 8
1 2 1 3 4
3 4 2 6 8 3 4

Determnant tushunchasi.

Deteriminant-berilgan sonli jadval elementlari asosida maxsus qoida bo’yicha hisoblanadigan son bo’lib,jadvalning tartibiga qarab,uni hisoblash qoidasi aniqlanadi.Matritsa va determinantlar uchun o’zaro farqli belgilashlardan foydalaniladi. Masalan, A matritsaning determinant |A| yoki detA orqali belgilanadi.Ixtiyoriy haqiqiy sonni birinchi tartibli tartibli determinant deb qarash mumkin.

1. 
   Tarif: Ikkinchi tartibli [^{𝑎 𝑏}] matritsaga mos keluvchi va a·d-b·c
   

𝑐 𝑑
munosabatlar bilan aniqlangan songa 2-tartibli determinant deyiladi va |^{𝑎 𝑏}|
𝑐 𝑑
kabi belgilanadi.
Determinant uchun satr ,ustun,element,tartib va diagonal tushunchalari kvadrat matritsalardagi kabi anqlangan.Tarifga ko’ra 2-tartibli determinantning qiymati asosiy dioganalda yotuvchi ikki element ko’paytmasidan yordamchi diagonalda yotuvchi ikki element ko’paytmasini ayirish natijasiga teng:
|^{𝑎 𝑏}| = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
𝑐 𝑑
Misol. Quyidagi ikkinchi tartibli determinantni hisoblang.
|^{3 −4}| = 3 · 5 − ⁽−4⁾ · 2 = 15 + 8 = 23
2 5
^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13

2. 
   ^{Tarif: Uchinchi tartibli (𝑎}21 ^𝑎22 ^𝑎23^{) matritsa elementlari asosida}
   

^𝑎31 ^𝑎32 ^𝑎33
𝑎₁₁ · 𝑎₂₂ · 𝑎₃₃+𝑎₁₂ · 𝑎₂₃ · 𝑎₃₁+𝑎₁₃ · 𝑎₂₁ · 𝑎₃₂-𝑎₁₃ · 𝑎₂₂ · 𝑎₃₁ −
^𝑎11 ^{· 𝑎}23 ^{· 𝑎}32 ^{− 𝑎}12 ^{· 𝑎}21 ^{· 𝑎}33

^𝑎11	^𝑎12	^𝑎13
^|^𝑎21	^𝑎22	^𝑎23^|
^𝑎31	^𝑎32	^𝑎33

qoida bilan hisoblangan son uchinchi tartibli determinant deyiladi va

kabi belgilanadi.

Hisoblashni soddalashtirish maqsadida dastlabki uchta qo’shiluvchi va keyingi uchta ayriluvchilar mos ravishda quydagi sxema bo’ycha hisoblanadi

· · ·
· · ·
· · ·

_{« +» (}· · ·_{) (}· · ·_{) (}· · ·₎

· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·
· · ·

_{« −» (}· · ·_{) (}· · ·_{) (}· · ·₎
· · · · · · · · ·
Bayon etilgan bu qoida uchinchi tartibli determinantni hisoblashning
uchburchak qoidasi deyiladi.
Misol. Berilgan uchinchi tartibli determinantning hisoblanishiga e’tibor bering.

2 1 −2
^{𝑎) |}5 0 3
4 −3 6
|=2· 0 · 6 + 1 · 3 · 4 + 5 · ⁽−2⁾ · ⁽−3⁾ − 4 · 0 · ⁽−2⁾ − 1 · 5 ·

6 − 2 · 3 · ⁽−3⁾ = 0 + 12 + 30 + 0 − 30 + 18 = 30

1 1 1
^{𝑏) |}2 −3 1
4 −1 −5

|=1· ⁽−3⁾ · ⁽−5⁾ + 1 · 1 · 4 + 2 · ⁽−1⁾ · 1 − 1 · ⁽−3⁾ · 4

−1 · 2 · ⁽−5⁾ − 1 · ⁽−1⁾ · 1 = 15 + 4 − 2 + 12 + 10 + 1 = 40

3. 
   Ta’rif: Ixtiyoriy kvadrat matritsa elementlari asosida ma’lum bir qoida asosida aniqlangan son bu matritsaning determinanti (aniqlovchisi)deb ataladi.
   

Biroq bu qoidalar uchinchidan yuqjri tartibli determinantlar uchun ishlamaydi.Shu sababli quyida determnantni hisoblashning universal usulini keltiramiz.
Birinchi tartibli kvadrat A=⁽𝑎₁₁⁾ matritsaning aniqlovchisi sifatida shu sonning o’zi olinadi, yani ^|𝐴^|=𝑎₁₁.

𝑎 𝑎
Ikkinchi tartibli kvadrat A=(^{𝑎11 𝑎12}) matritsaning aniqlovchisi sifatida
21 22
quydagi qoida asosida hisoblangan sonni qabul qilamiz, ya’ni:
^|𝐴^|=|^{𝑎11 𝑎12}|=𝑎 𝑀 -𝑎 𝑀 .

^𝑎21 ^𝑎22
11 11
12 12

Bunda 𝑀_ij-berilgan A matritsada i-satr va j-ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan
birinchi tartibli kvadrat matritsalarning determinantlari.
Masalan, 𝑀₁₁determinant A matritsada 1-satr va 1-ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan .𝑀₁₂ determinant A matritsada 1-satir va 2-ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan.

Masalan, A=(
1 0 −1
2 1 0

) matritsaning determinanti quydagiga teng:

^|𝐴^|=|
−2 1 5
1 0 −1
2 1 0 ^{|=1· 1 · 5 + 0 · 0 · (−2) + 2 · 1 · (−1) − (−2) · 1 · (−1) −}
−2 1 5

1 · 1 · 0 − 0 · 2 · 5 = 1
^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛

4. 
   
   ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
   Ta’rif: n-tartibli kvadrat A=[ ^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛} ] matritsa determinanti
   

^𝑎𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑚
deb quydagicha aniqlangan songa aytiladi:
^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛
^|𝐴^|=| ^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛} |=𝑎 𝑀 − 𝑎 𝑀 +. . . +(−1)^𝑛+1𝑎 𝑀 (2)

⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^𝑎𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑚
11 11
12 12
1𝑛
1𝑛

5. 
   Ta’rif: n-tartibli A matritsaning i-satr va j-ustunini o’chirishdan hosil bo’lgan (n-1)-tartibli determinantga A matritsa 𝑎_ij elementining 𝑀_ij minori deb ataladi.
   

Masalan,uchinchi tartibli A matritsa 𝑎₂₃ elementning 𝑀₂₃ minori A matritsadan 2-satr va 3-ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan son.

6. 
   Ta’rif: n-tartibli A matritsaning 𝑎_ij elementining 𝐴_ij algebrik to’ldiruvchisi deb uning 𝑀_ij minorini (−1)^i+j ga ko’aytirilganiga aytiladi, ya’ni 𝐴_ij=(−1)^i+j𝑀_ij
   

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛

⋯ ⋯ ⋯ ⋯
Algebrik to’ldiruvchining ta’rifidan foydalanib | ^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛} |
^𝑎𝑛1 ^𝑎𝑛2 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑚
formulani quydagi ko’rinishda yozish mumkin:
^|𝐴^|=𝑎₁₁𝑀₁₁ − 𝑎₁₂𝑀₁₂+. . . +(−1)^𝑛+1𝑎_1𝑛𝑀_1𝑛 = 𝑎₁₁𝐴₁₁ + 𝑎₁₂𝐴₁₂+…+𝑎_1𝑛𝐴_1𝑛 1 2 1
^{Misol: Berilgan A=[}0 −2 3^{] matritsa determinantini hisoblang.}
3 1 1