Chiziqli tenglamalar sistemasini yechish usullari. Reja

Izoh: Turli o’lchamli matritsalarni qo’shib (ayirib) bo’lmaydi. Matritsani matritsaga ko’paytirish.

17. 
    Ta’rif A=(𝑎_ij) va B=(𝑏_ij) matritsalarning ko’paytmasidan iborat bo’lgan C=A∙B=(𝑐_ij ) matritsaning elementlari quyidagi formula yordamida
    

aniqlanadi:

𝑘−1
𝑐_ij =^∑𝑛 𝑎_i𝑘∙𝑏_𝑘j=𝑎_i1𝑏_1j+𝑎_i2𝑏_2j+…+𝑎_i𝑛𝑏_𝑛j (2)
(2) formuladan ko’rinib turibdiki, A∙B ko’paytirish amali faqatgina A matritsaning ustunlari soni va B matritsaning satirlari soni o’zaro teng bo’lgandagina amalga oshiriladi.
Izoh:Ko’paytirish amalida ko’paytmadagi matritsalarning joylashgan o’rni ahamiyatli.Shu sababli matritsalar uchun o’ngdan va chapdan ko’paytirish qoidalari mavjud.

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^𝑏11 ^𝑏12 ^𝑏13

Misol. A=[_{𝑎21 𝑎22 𝑎23}] , B=[^{𝑏21 𝑏22 𝑏23}] bo’lsa A·B ni toping.
^𝑏31 ^𝑏32 ^𝑏33

^𝑎11 ^𝑎12 ^𝑎13
^𝑏11 ^𝑏12 ^𝑏13

C=A·B=[_{𝑎21 𝑎22 𝑎23}] [^{𝑏21 𝑏22 𝑏23}]=
^𝑏31 ^𝑏32 ^𝑏33
_[ ^𝑎11^𝑏11 ^{+ 𝑎}12^𝑏21 ^{+ 𝑎}13^𝑏31 ^𝑎11^𝑏12 ^{+ 𝑎}12^𝑏22 ^{+ 𝑎}13^𝑏32 ^𝑎11^𝑏13 ^{+ 𝑎}12^𝑏23 ^{+ 𝑎}13^𝑏33 _]
^𝑎21^𝑏11 ^{+ 𝑎}22^𝑏21 ^{+ 𝑎}23^𝑏31 ^𝑎21^𝑏12 ^{+ 𝑎}22^𝑏22 ^{+ 𝑎}23^𝑏32 ^𝑎21^𝑏13 ^{+ 𝑎}22^𝑏23 ^{+ 𝑎}23^𝑏33
Demak, (2×3) o’lchovli A matritsani (3×3) o’lchovli B matritsaga ko’paytirilganda (2×3) o’lchovli C matritsa hosil bo’ladi.

A matritsaning o’lchamlari (m×n), B matritsaning o’lchamlari (n×q) bo’lsa, C=A·B matritsaning o’lchami (m×q) bo’ladi.

1.Misol: Berilgan A va B matritsalar uchun C=AB ni aniqlang.
1
^A=[4^{] va B=[}2 4 1^{] uchun AB va BA ko’paytmani aniqlang.}
3
1 1 · 2 1 · 4 1 · 1 2 4 1
^{Yechish: AB=[}4^{] · [}2 4 1^{] = [}4 · 2 4 · 4 4 · 1^{] = [}8 16 4^]

3 3 · 2 3 · 4 3 · 1
1
6 12 3

^BA=[2 4 1^{] · [}4^{] = 2 · 1 + 4 · 4 + 1 · 3 = 2 + 16 + 3 = 21}
3

2.Misol: A=[^{1 3 −2}
4 −1 5
] va
bo’lsa, C=AB ni

aniqlang.
1 3 −2

2	3	−4 5
^B=^[−3	6	0 1 ^]
3	−5	6 7

2 3 −4 5

^C=AB=[_{4 −1 5} ^{] · [}−3 6 0 1 ^{] =}
3 −5 6 7
_[1 · 2 − 3 · 3 − 2 · 3 1 · 3 + 3 · 6 + 2 · 5 −1 · 4 + 3 · 0 − 2 · 6 1 · 5 + 3 · 1 − 2 · 7_]
4 · 2 + 1 · 3 + 5 · 3 4 · 3 − 1 · 6 − 5 · 5 −4 · 4 − 1 · 0 + 5 · 6 4 · 5 − 1 · 1 + 5 · 7

]=
_=[ 2 − 9 − 6 3 + 18 + 10 −4 + 0 − 12 5 + 3 − 14
8 + 3 + 15 12 − 6 − 25 −16 − 0 + 30 20 − 1 + 35
_[−13 31 −16 − 6_]
26 −19 14 54
Berilgan A, B matritsalar uchun A· 𝐵 amallarni bajaring.

1 −3 0
0 −1 3

^{1) A=[}_{2 5 1}^{] , 𝐵 = [}3 5 2^]
4 −2 1
1 3 1 2 1 0
^{2) A=[}2 0 4^{] , B=[}1 −1 2^]
1 2 3 3 2 1
Teorema: Matritsalarni ko’paytirish amali quyidagi xossalarga ega:

1. 
   Matritsalarni ko’paytirish amali matritsalarni qo’shish amaliga nisbatan distrubutiv,ya’ni agar A(B+C) va (A+B)C mavjud bo'lsa u holda:A(B+C)=AB+AC va (A+B)C=AC+BC munosabatlar o’rinli.
   
2. 
   Matritsalarni ko’paytirish amali assotsiativ,ya’ni agar AB va(AB)C ko’paytmalar mavjud bo’lsa,u holda ABvaA(BC) ko’paytmalar ham mavjud bo’ladi va quyidagi munosabat o’rinli:
   

(AB)C=A(BC)

3. 
   Agar AB ko’paytma mavjud bo’lsa,ixtiyoriy α o’zgarmas son uchun quyidagi tenglik o’rinli:
   

α(AB)=(αA)B=A(αB)

Matritsani butun musbat darajaga oshirish.

Matritsani k-butun musbat darajaga oshirish amali k tabir xil kvadrat matritsani ketma-ket ko’paytirish amalidan iborat,ya’ni:

A^k  _A _––A_ A_–..._–_A
k
Takidlash lozimki:

A⁰  E ,
A¹  A
deb qabul qilingan.

Transponirlangan matritsa va uning xossalari.

Tranponirlash amali qo’llash degani A matritsaning satr va ustun elementlarini
almashtirib yozish tusuniladi.A matritsaning transportirlangan matritsasini _𝐴^𝑇orqali belgilanadi.

^𝑎11 ^𝑎12 ^{⋯ 𝑎}1𝑛 ^𝑎11 ^𝑎21 ^{⋯ 𝑎}𝑛1
_A=[^{𝑎21 𝑎22 ⋯ 𝑎2𝑛}] bo’lsa, 𝐴^𝑇=[^{𝑎12 𝑎22 ⋯ 𝑎𝑛2} ] bo’lsa

⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^𝑎𝑚1 ^𝑎𝑚2 ^{⋯ 𝑎}𝑚𝑛
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^𝑎1𝑚 ^𝑎2𝑚 ^{⋯ 𝑎}𝑛𝑚

Agar A matritsaning o’lchamlari m×n bo’lsa, u holda _𝐴^𝑇 matiritsaning o’lchami n×m bo’ladi.

Matritsalarni transponirlash, qo’shish va ko’paytirish amallari quydagi xossalarga ega:
1. ⁽𝐴^𝑇)𝑇 =A
2. (𝑎 · 𝐴)^𝑇=𝑎𝐴^𝑇,
3. (𝐴 + 𝐵)^𝑇=𝐴^𝑇+𝐵^𝑇.
4. (𝐴 · 𝐵)^𝑇=𝐵^𝑇𝐴^𝑇


Teskari matritsa haqida tushuncha. Dastavval xos va xosmas matritsa tushuncalarini kiritamiz.

1. 
   Ta’rif. Berilgan A matritsaning determinanti noldan farqli bo’lsa , A –xosmas matritsa deyiladi. Aks holda, yani determinant nol bo’lsa, A-xos matritsa deyiladi.
   
2. 
   Ta’rif. Berilgan 𝐴_𝑛×𝑛 matritsaga qo’shma matritsa deb quyidagicha aniqlanadi.
   

^𝐴11 ^𝐴21 ^{… 𝐴}𝑛1

𝐴^* = [
^𝐴12 ^𝐴22 ^{… 𝐴}𝑛2

]
… … … …

^𝐴1𝑛 ^𝐴2𝑛 ^{… 𝐴}𝑛𝑛
𝐴^* matritsaga aytiladi . Bu yerda 𝐴_ij lar berilgan A matritsa 𝑎_ij elementlarining algebraik to’ldiruvchilari.

3. 
   Ta’rif. Agar quyidagi
   

𝐴⁻¹ · 𝐴 = 𝐴 · 𝐴⁻¹=E
Tenglik o’rinli bo’lsa , 𝐴⁻¹ orqali belgilangan matritsa berilgan A matritsaga
teskari matritsa deyiladi.
Teorema:(teskari matritsa mavjudligi haqidagi teorema) Berilgan A matritsaning teskarisi 𝐴⁻¹ mavjud bo’lishi uchun A ning xosmas bo’lishi zarur va yetarli bo’lib,teskari matritsa yagonadir.
Ushbu teoremaning isbotini keltirmagan holda xosmas A matritsaning teskari matritsasini aniqlash formulasini keltiramiz:

_𝐴−1 ₌ ^1
|𝐴^|
𝐴11 ^𝐴21 ^{⋯ 𝐴}𝑛1

[ ]
^𝐴12 ^𝐴22 ^{⋯ 𝐴}𝑛2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
^𝐴1𝑛 ^𝐴2𝑛 ^{⋯ 𝐴}𝑛𝑛

Matritsalar ustida amallar mavzusini davom ettirib , matritsalarni bo’lish amalini ko’paytirish amaliga teskari amal sifatida qaraymiz , ya’ni A va B matritsalar uchun A:B ifodani A· 𝐵⁻¹ kabi tushunamiz.

Teskari matritsani aniqlashning yana bir usuli haqida.Berilgan xosmas A matritsaga teskari 𝐴⁻¹ matritsani A matritsa elementlarining algebraik to’ldiruvchilari orqali (1) formula yordamida aniqlashni ko’rib o’tdik. Endi teskari matritsani aniqlashning elementar almashtirishlarga asoslangan usulini ko’rib chiqamiz . Bunda elementar almashtirishlarni kengaytirilgan (A|E) matritsaga nisbatan qo’llash natijasida (E|𝐴⁻¹) matritsani hosil qilamiz.
Misol. Berilgan matritsaga teskari matritsa toping.

2	0	1
^A=^[1	−1	0^]
0	1	1

Yechish:Kengaytirilgan matritsa tuzamiz:

2	0	1 1	0	0
^(1	−1	0^|0	1	0^)
0	1	1 0	0	1

Birinchi va ikkinchi satrlarning o’rinlarini almashtiramiz:

1	−1	0 0	1	0
^(2	0	1^|1	0	0^)
0	1	1 0	0	1

Ikkinchi satrga (-2) ga ko’paytirilgan birinchi satrni qo’shamiz:

1	−1	0 0	1	0
^(0	2	1^|1	−2	0^)
0	1	1 0	0	1

Uchinchi satrni (-2) ga ko’paytirilgan birinchi satrni qo’shamiz:

1 −1 0
⁽0 2 1
0 1 0
^|1 −2 0 ⁾

0 0 −1 1 −2 −2
Ikkinchi va uchinchi satr elementlarini qo’shamiz:

1 −1 0
⁽0 2 0
0 0 −1
0 1 0
^|−2 −4 −2⁾
1 −2 −2

Ikkinchi satr elementlarini 2 ga bo’lib , birinchi satr elementlariga qo’shamiz:

2 0 0
⁽0 2 0
2 −2 −2
^|2 −4 −2⁾

0 0 −1 1 −2 −2
Birinchi va ikkinchi satr elementlarini (0,5) ga , uchinchi satr elementlarini esa (-1) ga ko’paytiramiz:

1 0 0
⁽0 1 0^|
1 −1 −1
1 −2 −1⁾

0 0 1 −1 2 2
Shunday qilib ,berilgan A matritsaning teskari matritsasi:
1 −1 −1
^{𝐴−1 = [} 1 −2 −1^]
−1 2 2
Teorema: Agar A matritsa uchun 𝐴⁻¹ teskari matritsa mavjud bo’lsa,u quyidagi xossalarga ega bo’ladi:
1. ⁽𝐴⁻¹⁾⁻¹ = 𝐴 2. ⁽𝐴^𝑇)−1 = ⁽𝐴^−1)𝑇 3. ⁽𝐴^−1)𝑚 = ⁽𝐴^𝑚)−1

4. |𝐴⁻¹|= ^1
|𝐴^|

Matritsaning rangi.

5. ⁽𝐴𝐵⁾⁻¹=𝐵⁻¹ · 𝐴⁻¹

Matritsaning rangi matritsalar algebrasining asosiy tushunchalaridan biridir.

Bizga o’lchami m× 𝑛 bo’lgan A matritsa berilgan bo’lsin. k=min(m,n) deb aniqlanadi.
A matritsada m-k ta satr va (n-k) ta ustunni o’chirib k-tartibli kvadrat matritsani hosil qilamiz.Hosil bo’lgan matritsaning 𝑀_𝑘 determinant A matritsaning k-tartibli minori deyiladi. O’lchami m× 𝑛 bo’lgan Amatritsada birinchi,ikkinchi,uchinchi va h.k. k- tartibli minorlari bor mavjud.
Masalan,(5× 3) o’lchamli matritsaning birinchi,ikkinchi va uchinchi tartibgacha minorlari mavjud.