Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

Шякил 95.2.

 

622 

 

 

Х  Ф Я С И Л. ЩИДРОЭЕНЯБЯНЗЯР АТОМЛАРЫН КВАНТ  

НЯЗЯРИЙЙЯСИ 

 

 

Ё96. Мяркязи сащядя щярякят едян щиссяъик 

цчцн Шрединэер тянлийи 

 

Атом  физикасында  u  потенсиал  функсийанын  бирюлчцлц  олмайыб,  мцяййян 

гцввя  мяркязиня  нязярян  сферик  симметрик  олдуьу  щал  даща  мцщцм  ящямиййят 

кясб едир. Мясялян, атомда мцсбят йцклц нцвянин йаратдыьы електрик сащясини 

буна  мисал  эюстярмяк  олар.  Беля  сащядя  щярякят  едян  бир  дяня  електронун 

потенсиал енержиси йалныз нцвядян олан r мясафясиндян асылыдыр, йяни u=u(r). 

Бурада 

r

r

r

=   електронун  радиус-векторудур.  Бу  щалда  електронун 

ψ

  дальа 

функсийасы,  йяни  уйьун  Шрединэер  тянлийинин  щялли  олан  функсийа  йалныз  r-

дян  дейил,  щям  дя  rr   радиус-векторунун  истигамятини  тяйин  едян 

θ

  вя 

ϕ

 

буъагларындан да асылы ола биляр. 

Потенсиалы  йалныз  мяркяз  адланан  нюгтядян  олан  мясафядян  асылы  сащяйя 

мяркязи  вя  йа  сферик-симметрик  сащя  дейилир.  Мяркязи  сащядя  щярякят  едян 

щиссяъийин потенсиал енержиси бу щиссяъийин йалныз гцввя мяркязиндян олан r 

мясафясиндян асылы u(r) функсийасындан ибарятдир. Она эюря дя беля щиссяъик 

цчцн Щамилтон оператору 

( )

r

u

m

H

+

∇

−

=

2

2

2

ˆ

h

 

 

                (96.1) 

кими  йазыла  биляр  /бах: (76.16)/. Мяркязи  сащя  сферик  симметрийайа  малик 

олдуьундан  мясяляни  сферик  координатларда  (Ё76)  щялл  етмяк  мягсядяуйьундур. 

(76.45)  вя (76.47) ифадяляриня  ясасян  сферик  координатларда (96.1) Щамилтон 

операторуну 

( )

r

u

mr

M

r

r

r

r

m

H

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

−

=

2

2

2

2

2

2

ˆ

1

2

ˆ

h

                 (96.2) 

шяклиндя  йазмаг  олар.  Бурада 

–щиссяъийин  импулс  моментинин  квадраты 

операторудур (Ё76). 

2

ˆ

M

Асанлыгла  эюстярмяк  олар  ки, (96.2) оператору  щям 

,  щям  дя 

 

оператору иля коммутативдир. Доьрудан да, (96.2) ифадясиндя биринъи вя цчцнъц 

щяддин  ъями  олан 

2

ˆ

M

z

Mˆ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

r

r

Q ,

ˆ

  операторуна  йалныз  r  вя 

r

∂

∂

  дахилдир  вя  о, 

θ

  вя 

ϕ

 

буъагларындан  вя  бу  буъаглара  эюря  тюрямялярдян  асылы  дейилдир.  Беляликля, 

(96.2) явязиня 

2

2

ˆ

2

1

,

ˆ

ˆ

M

mr

r

r

Q

H

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

=

 

 

     (96.3) 

 

623

операторундан  истифадя  етмяк  олар. (76.40) ифадясиндян  эюрцнцр  ки, 

 

операторуна йалныз 

θ

 буъаьы вя 

θ

 вя 

ϕ

-йя эюря тюрямяляр дахилдир. Она эюря дя 

 оператору 

2

ˆ

M

2

ˆ

M

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

r

r

Q ,

ˆ

 иля коммутативдир вя 

2

1

r

 вуруьуна тясир етмир. Бурадан 

айдын олур ки, 

 оператору (96.2) оператору иля коммутативдир. 

2

ˆ

M

(76.39)  ифадясиндян  эюрцнцр  ки,  щиссяъийин  импулс  моментинин  z  оху  цзря 

пройексийасына  уйьун  олан 

  оператору  йалныз 

ϕ

  буъаьы  цзря  тюрямядян 

ибарятдир. Она эюря дя 

 оператору 

z

Mˆ

z

Mˆ

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

r

r

Q ,

ˆ

 оператору иля коммутативдир вя 

2

1

r

 вуруьуна тясир етмир. Бундан башга, 

 оператору щям дя 

 оператору иля 

коммутативдир  /бах: (77.32)/. Демяли, 

  оператору  да (96.2) оператору  иля 

коммутативдир: 

. 

z

Mˆ

2

ˆ

M

z

Mˆ

0

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

=

−

H

M

M

H

z

z

Демяли,  мяркязи  сащядя  щярякят  едян  щиссяъик  цчцн 

, 

  вя 

 

операторлары  бир-бири  иля  коммутативдир.  Бу  ися  о  демякдир  ки,  беля 

щиссяъийин енержиси, импулс моментинин квадраты вя импулс моментинин цстцн 

истигамят  цзря  пройексийасы  ейни  заманда  мцяййян  гиймятляр  ала  биляр,  йяни 

щямин кямиййятляр сахланыр (Ё77). Бундан башга 

, М

Hˆ

2

ˆ

M

z

Mˆ

Hˆ

2

 вя M

z

 операторларынын 

мяхсуси  функсийалары  да  ейни  олмалыдыр  (Ё73). 

  вя 

  операторларынын 

мяхсуси гиймятляри 

 вя 

 ися (84.6), (84.35) вя (84.34) дцстурлары иля тяйин 

олунур. 

  операторунун  мяхсуси  гиймятлярини,  йяни  мяркязи  сащядя  щярякят 

едян  щиссяъийин  енержисинин  ала  билдийи  гиймятляри  тапмаг  цчцн  ися 

 вя йа 

2

ˆ

M

z

Mˆ

2

ˆ

M

z

Mˆ

Hˆ

ψ

ψ

E

H

=

ˆ

( )

ψ

ψ

ψ

ψ

E

r

u

M

mr

r

r

r

r

m

=

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

∂

∂

∂

∂

−

 

ˆ

2

1

1

2

2

2

2

2

2

h

            (96.4) 

Шрединэер  тянлийини  щялл  етмяк  лазымдыр.  Йухарыда  дейилянлярдян  айдын 

олур  ки,  бу  тянлийин  щялли  олан 

ψ

(r,

θ

,

ϕ

)  функсийасы  щям  дя 

  вя 

 

операторларынын мяхсуси функсийасы олмалыдыр. Бу шяртин юдянмяси цчцн ися 

ψ

(r,

θ

,

ϕ

)  функсийасыны  бир-бириндян  асылы  олмайан  ики  дяня  R(r)  вя  Y(

θ

,

ϕ

) 

функсийаларынын щасили кими эютцрмяк лазымдыр: 

2

ˆ

M

z

Mˆ

ψ

(r,

θ

,

ϕ

)=R(r)

⋅Y(

θ

,

ϕ

).   

                (96.5) 

(96.5)-и (96.4)-дя йазсаг вя 

 операторунун ифадясиндя r цзря диференсиаллама 

олмадыьыны нязяря алсаг 

2

ˆ

M

( )

ERY

RY

r

u

Y

M

R

mr

dr

dR

r

dr

d

Y

r

m

=

+

⋅

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

2

2

2

2

2

ˆ

2

1

1

2

h

   (96.6) 

олар. R(r) функсийасы йалныз r-дян асылы олдуьу цчцн (96.6)-да r цзря там тюрямя 

ишаряси йазылмышдыр. 

 

624 

(96.6) бярабярлийини 

2

2

2

h

RY

mr

 кямиййятиня вурараг, ону 

( )

[

]

Y

M

Y

r

u

E

mr

dr

dR

r

dr

d

R

2

2

2

2

2

ˆ

1

2

1

h

h

=

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

           (96.7) 

кими  йазаг.  Бурадан  эюрцнцр  ки, (96.5) явязлямяси (96.4) тянлийиндя 

дяйишянлярин  айрылмасына  эятирир.  Беля  ки, (96.7) тянлийинин  сол  тяряфиня 

йалныз r дяйишяни, саь тяряфиня ися йалныз 

θ

 вя 

ϕ

 дяйишянляри дахилдир. (96.7) 

бярабярлийи r,

θ

,

ϕ

 дяйишянляринин ихтийари гиймятляриндя юдянмялидир. Бу ися 

йалныз  о  заман  мцмкцндцр  ки, (96.7) тянлийинин  сол  вя  саь  тяряфи  ейни  бир  C 

сабитиня бярабяр олсун. Демяли, (96.7) тянлийинин явязиня ашаьыдакы кими ики 

тянлик йазмаг олар: 

( )

[

]

0

2

2

2

2

=

−

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

CR

R

r

u

E

mr

dr

dR

r

dr

d

h

,                  (96.8) 

CY

Y

M

2

2

ˆ

h

=

.   

 

            (96.9) 

(96.9) тянлийинин щялли бизя мялумдур (Ё84). Беля ки, 

 операторунун мяхсуси 

функсийалары  Y

2

ˆ

M

lm

(

θ

,

ϕ

)  комплекс  сферик  функсийалар  /бах: (84.29)/ олуб,  мяхсуси 

гиймятляри ися (84.35) дцстуру иля тяйин олунур. (84.37) вя (96.9) ифадяляринин 

мцгайисясиндян тапырыг ки, (96.8) вя (96.9) тянликляриндяки C сабити 

C=l(l+1), l=0,1,2,… 

 

           (96.10) 

кими тяйин олунур. 

Беляликля,  айдын  олур  ки, (96.5) дальа  функсийасынын  буъагдан  асылы 

щиссяси импулс моментинин квадраты операторунун (

) мяхсуси функсийалары 

Y

2

ˆ

M

lm

(

θ

,

ϕ

) иля ейнидир. 

(96.9)  тянлийинин  щяллинин  хассяляриня  уйьун  олараг, (96.8) тянлийиндя  C 

сабитинин  йалныз (96.10) дцстуру  иля  тяйин  олунан  гиймятляри  цчцн  алынан 

щялляр  мараг  кясб  едир.  Она  эюря  дя (96.8)-дя  C  сабитинин  явязиня (96.10) 

ифадясини йазараг 

( )

( )

0

2

1

1

2

2

2

2

2

2

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

−

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⋅

−

R

mr

l

l

r

u

E

dr

dR

r

dr

d

r

m

h

h

        (96.11) 

вя йа бурада мютяризядяки ифадянин r цзря тюрямясини тапараг  

( )

( )

0

2

1

2

2

2

2

2

2

2

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

−

+

+

R

mr

l

l

r

u

E

m

dr

dR

r

dr

R

d

h

h

          (96.12) 

тянлийини  аларыг. (96.11) вя  йа (96.12) тянлийи (96.5) функсийасынын  радиал 

щиссяси  олан  намялум  R(r)  функсийасыны  тапмаг  цчцн  диференсиал  тянликдир. 

Эюрцндцйц  кими  щямин  тянлийи  щялл  етмяк  цчцн  u(r)  потенсиал  енержи 

функсийасынын 

ашкар 

ифадясини 

билмяк 

лазымдыр. 

Демяли, (96.5) 

функсийасынын  радиал  щиссяси  мяркязи  сащянин  характериндян,  йяни  u(r) 

функсийасынын конкрет ифадясиндян асылыдыр. (96.5) функсийасынын  буъагдан 

асылы щиссяси ися u(r)-дян асылы дейилдир вя бцтцн мяркязи сащяляр цчцн ейни 

 

625

олуб,  l  вя  m  квант  ядядляриндян,  йяни  щиссяъийин  импулс  моментинин  вя  бу 

моментин z оху цзря пройексийасынын гиймятиндян асылыдыр. 

(96.11)  вя  йа (96.12) тянлийини  щялл  едяряк  Е  енержисинин  мяхсуси 

гиймятлярини вя бу гиймятляря уйьун олан R(r) функсийаларыны тапмаг олар. Бу 

функсийалар l квант ядядиндян асылы олаъаглар вя она эюря дя R

l

(r) кими йазыла 

билярляр.  Беляликля,  мяркязи  сащядя  щярякят  едян  щиссяъик  цчцн (96.4) 

Шрединэер тянлийинин щялли олан (96.5) функсийасыны 

ψ

(r,

θ

,

ϕ

)=R

l

(r)Y

lm

(

θ

,

ϕ

)   

              (96.13) 

кими йазмаг олар. 

(96.4) тянлийинин ян цмуми щялли (96.13) щялляринин суперпозисийасы кими 

эюстяриля биляр: 

(

)

( ) ( )

∑

=

m

l

lm

l

lm

Y

r

R

C

r

,

,

,

,

ϕ

θ

ϕ

θ

ψ

.  

        (96.14) 

(96.11) вя йа (96.12) тянлийиня m квант ядяди дахил дейилдир. Бу, о, демякдир 

ки,  щиссяъийин  Е  енержиси  m  квант  ядядиндян  асылы  олмамалыдыр.  Демяли,  l 

квант  ядядинин  верилмиш  гиймятиндя  бир-бириндян  m  квант  ядядинин  гиймяти 

иля  фярглянян  щаллар  чохлуьу  /беля  щалларын  сайы (2l+1)-я  бярабярдир,  Ё84/ 

енержинин  ейни  бир  Е  гиймятиня  уйьун  эялир,  йяни  щиссяъийин  енержиси  2l+1 

тяртибдян  ъырлашмышдыр.  Беляликля,  мяркязи  сащядя  щярякят  едян  щиссяъик 

цчцн  m  квант  ядяди  цзря  2l+1  тяртибли  ъырлашма  мювъуддур.  Бу  ъырлашма 

мяркязи  сащянин  сферик  симметрийайа  малик  олмасы  нятиъясиндя  мейдана 

чыхыр.  Беля  ки,  сферик  симметрик  сащядя  щярякят  едян  щиссяъийин  енержиси 

импулс  моментинин  фязада  истигамятиндян,  йяни  онун  сечилмиш  ихтийари 

истигамят цзря пройексийасынын гиймятиндян асылы дейилдир. 

(96.11) вя йа (96.12) тянлийини щялл едяркян координат башланьыъыны гцввя 

мяркязиндя (сферик симметрик сащянин мяркязиндя) эютцрмяк мягсядяуйьундур. 

Координат башланьыъына йахын (r

→0) вя координат башланьыъындан чох бюйцк 

(r

→∞)  мясафялярдя (96.11) вя  йа (96.12) тянлийинин  щялли  олан  R

l

(r) 

функсийасынын  юзцнц  неъя  апардыьыны  арашдыраг.  Бу  арашдырманы  u(r) 

функсийасынын конкрет ифадяси цчцн дейил, цмуми шякилдя апараг. Бу мягсядля 

R

l

(r) функсийасынын явязиня  

( )

( )

r

r

r

R

l

χ

1

=

   

 

          (96.13) 

ифадясиндян истифадя етмяк ялверишлидир. Садялик наминя 

χ

(r) функсийасында l 

индексини йазмырыг. (96.13) ифадясини (96.12)-дя йазсаг 

(

) ( )

0

1

2

2

2

2

2

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

−

+

χ

χ

r

l

l

u

E

m

dr

d

h

 

         (96.14) 

аларыг. (96.14) тянлийи (96.12)-йя  нисбятян  даща  садядир.  R

l

(r)  функсийасынын 

(96.13) кими эюстярилмясинин ящямиййяти дя мящз бундан ибарятдир. 

Эюрцндцйц кими, (96.14) ифадяси щиссяъийин 

( ) ( ) ( )

2

1

r

l

l

r

u

r

u

l

+

+

=

 

 

            (96.15) 

 

626 

сащясиндя  бирюлчцлц  щярякяти  цчцн  Шрединэер  тянлийиня  формал  олараг 

охшайыр: 

( )

[

]

0

 

2

2

2

2

=

−

+

χ

χ

r

u

E

m

dr

d

l

h

. 

 

      (96.16) 

Юзц дя (96.16) тянлийиндя 

( )

2

2

2

2

.

.

2

2

1

mr

M

mr

l

l

E

l

q

m

=

+

= h

 

                (96.17) 

щяддини мяркяздянгачма енержиси адландырмаг олар. 

Яввялъя  r-ин  чох  кичик  гиймятляри  цчцн  R

l

(r)  функсийасынын  характерини 

мцяййян  едяк.  Фярз  едяк  ки,  координат  башланьыъынын  йахынлыьында  u(r) 

потенсиал енержи функсийасы юзцнц 

( )

0

 

lim

2

0

=

→

r

r

u

r

   

 

          (96.18) 

кими  апарыр.  Мясялян,  хцсуси  щалда,  Кулон  сащясиндя,  йяни 

r

u

α

=

  олдугда 

(96.18) шярти юдянир. 

(96.18)-дян  эюрцнцр  ки,  r

→0  олдугда  u(r)  функсийасы 

2

1

r

-на  нисбятян  лянэ 

артыр.  Она  эюря  дя (96.14) тянлийиндя  l(l+1)/r

2

  щяддиня  нисбятян 

(

)

u

E

m

−

2

2

h

 

щяддини  нязяря  алмамаг  олар.  Беляликля,  r-ин  кичик  гиймятляри  цчцн 

χ

(r) 

функсийасы 

( )

0

1

2

2

2

=

+

−

χ

χ

r

l

l

dr

d

 

 

            (96.19) 

тянлийинин щялли олур. Бу тянликдя ямсаллар 1 вя 

2

1

r

 иля мцтянасиб олдуьу цчцн 

онун щяллини 

χ

=cr

q

 кими ахтармаг олар. Бурада c – сабит, q – там ядяддир. 

χ

 цчцн 

бу ифадяни (96.19)-да йазараг q–йя нязярян 

q(q+1)=l(l+1)   

 

      (96.20) 

квадрат тянлийи алыныр. Бу тянлийин кюкляри 

q

1

=l+1, q

2

=-l   

 

     (96.21) 

олар.  Бурада  икинъи  кюк  дальа  функсийасынын  сонлу  олмасы  хассясиня  зидд 

олдуьу цчцн нязяря алынмамалыдыр. Доьрудан да, q

2

=-l олдугда (96.13) ифадясиня 

ясасян алыныр ки, R~r

-(l+1)

 олмалыдыр вя l-ин ихтийари гиймятиндя (хатырлайаг ки, 

l

≥0)  r=0  олдугда  R  функсийасы  сонсузлуьа  бярабяр  олур.  Беляликля,  координат 

башланьыъынын йахынлыьында (r

→0) 

χ

~r

l+1

 вя R радиал функсийасы юзцнц 

R

l

(r)=cr

l

 

 

 

     (96.22) 

кими апарыр. 

 

627

Инди  ися  r-ин  чох  бюйцк  гиймятляриндя  R(r)  радиал  функсийасынын  юзцнц 

неъя апармасыны мцяййян едяк. Адятян олдуьу кими r

→∞ олдугда u(r) потенсиал 

енержисинин сыфра бярабяр олдуьуну гябул етсяк 

( )

0

lim

=

∞

→

r

u

r

 

 

 

       (96.23) 

йаза  билярик.  Она  эюря  дя  r

→∞  олдугда (96.14) тянлийиндяки  орта  мютяризядя 

2mE/ħ

2

 щядди иля мцгайисядя 2mu/ħ

2

 вя l(l+1)/r

2

 щядлярини  нязяря алмамаг олар. 

Онда (96.14) тянлийи 

0

2

2

2

=

+

χ

χ

k

dr

d

, 

h

mE

k

2

=

 

                (96.24) 

шяклиня дцшцр. Айдындыр ки, бу тянлийин цмуми щяллини 

χ

=A

1

e

ikr

+A

2

e

-ikr

   

 

        (96.25) 

кими  эюстярмяк  олар.  Демяли,  r

→∞  олдугда  R(r)  функсийасынын  асимптотик 

ифадяси (96.13)-я ясасян 

( )

r

e

A

r

e

A

r

R

ikr

ikr

l

−

+

=

2

1

  

               (96.26) 

кими олар. 

Щиссяъийин  Е  енержиси  мцсбят  олдугда  (E>0), (96.24)-я  ясасян  k  параметри 

щягиги  ядяд  олур.  Она  эюря  дя  бу  щалда (96.26) ифадяси  эедян  вя  эялян  сферик 

дальаларын  (Ё60)  суперпозисийасындан  ибарятдир.  Яэяр  R

l

(r)  функсийасынын 

щягиги функсийа олмасы тяляб олунарса, E>0 олан щал цчцн (96.26) ифадясини 

( )

(

)

r

kr

a

r

R

l

l

l

β

+

=

sin

   

             (96.27) 

кими йазмаг олар. 

Беляликля,  r-ин  чох  кичик  гиймятляриндя (96.13) функсийасынын  R(r)  радиал 

щиссясинин  асимптотик  ифадяси (96.22), r-ин  чох  бюйцк  гиймятляриндя  вя  E>0 

олдугда ися (96.26) кими олур. Йухарыдакы шярщдян эюрцнцр ки, бу асимптотик 

ифадяляр  u(r)  функсийасынын  конкрет  ифадясиндян  асылы  дейилдир.  Ясас  тяляб 

ондан ибарятдир ки, бу функсийа (96.18) вя (96.23) шяртлярини юдясин. 

r-ин чох бюйцк гиймятляриндя вя Е<0 олдугда R(r) функсийасынын асимптотик 

ифадяси Ё98-дя мцяййян едиляъякдир.