Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

Ё93. Harmonik osilyator. Seçmə qaydaları 

 

Harmonik osilyatorun öyrənilməsi nəzəri fizikanın mühüm məsələlərindən biridir. 

Belə ki, harmonik osilyator anlayışından fizikanın müxtəlif bölmələrində (mexanika, 

klassik elektrodinamika, radiofizika, optika, atom və molekul fizikası  və s.) böyük 

əhəmiyyət kəsb edən rəqslər nəzəriyyəsinin qurulmasında istifadə olunur. Bundan başqa, 

nəzəri fizikada meydana çıxan nəzəriyyələri sınaqdan keçirmək üçün də bir sıra sadə 

məsələlərlə yanaşı, harmonik osilyator haqqında məsələyə  də  həmin nəzəriyyə 

çərçivəsində baxılır. Harmonik osilyator anlayışı sahələrin kvant nəzəriyyəsinin (ikinci 

kvantlanma) yaradılmasında və elektromaqnit vakuumunun sıfrıncı enerjisi haqqında 

fikirlərin təhlilində böyük rol oynamışdır. Bir çox hallarda mürəkkəb sistemlərin 

hərəkətinin öyrənilməsini harmonik osilyatorların hərəkətinə ekvivalent olan normal 

rəqslər toplusunun tədqiqinə  gətirmək olur. Bundan başqa, tarazlıqda olan şüalanmanın 

nəzəriyyəsində  (ЁЁ8,9), ikiatomlu molekulların spektrlərinin nəzəriyyəsinin və istilik 

tutumunun nəzəriyyəsinin qurulmasında harmonik osilyator anlayışından istifadə olunur. 

Harmonik osilyatorun nəzəriyyəsinin qurulması  həm də metodik cəhətdən maraq kəsb 

edir. Doğrudan da, harmonik osilyator üçün Şredinger tənliyini dəqiq həll etmək və 

bununla da həmin tənliyin konkret məsələlərin həlli üçün tətbiq olunmasının 

mümkünlüyünü sübut etmək olur. 

Məlumdur ki, klassik fizikada harmonik osilyator dedikdə kvazielastiklik qüvvəsinin 

(yəni, hissəciyin tarazlıq vəziyyətindən meyli ilə düz mütənasib olub, onu tarazlıq 

vəziyyətinə qaytarmağa çalışan qüvvənin) təsiri altında hərəkət edən maddi nöqtə 

(hissəcik) başa düşülür.  Əgər bu hissəciyin hərəkəti yalnız bir düz xətt, məsələn,  x oxu 

boyunca baş verirsə, həmin hissəcik birölçülü və ya xətti harmonik osilyator adlanır. 

Tərifə görə birölçülü (xətti) harmonik osilyatora təsir edən kvazielastiklik qüvvəsi 

F=-kx   

 

                  (93.1) 

olar. Burada x–hissəciyin tarazlıq vəziyyətindən meyli, k–kvazielastiklik əmsalıdır. Onda 

məlum 

dx

du

F

−

=

 

 

                      (93.2) 

 

586 

ifadəsinə əsasən birölçülü harmonik osilyatorun u(x) potensial enerjisi üçün 

du=-Fdx=-kxdx 

∫

∫

−

=

−

=

=

2

2

kx

kxdx

du

u

 

 

        (93.3) 

ifadəsini yaza bilərik. Burada ümumiliyi pozmadan inteqrallama sabitini sıfra bərabər 

götürdük. Sadəlik naminə bundan sonra harmonik osilyator dedikdə birölçülü və ya xətti 

harmonik osilyatorun nəzərdə tutulduğunu şərtləşək. 

Harmonik osilyator üçün klassik hərəkət tənliyi 

x

m

F

&&

=

, 

x

m

kx

&&

=

−

, 

0

2

=

+

x

x

ω

&&

 

 

 

         (93.4) 

kimi olar. Burada 

m

k

T

=

=

π

ω

2

   

 

          (93.5) 

işarə edilmişdir və T–rəqs periodudur; 

ω

–rəqslərin dairəvi tezliyi adlanır. 

(93.4) tənliyinin həlli (Ё46) 

x=acos

ω

t 

 

 

        (93.6) 

şəklində yazıla bilər. a–rəqslərin amplitudur. 

(93.3) və (93.5) ifadələrinə əsasən harmonik osilyatorun potensial enerjisini 

( )

2

2

2

2

2

x

m

kx

x

u

ω

=

=

 

 

                (93.7) 

kimi yazmaq olar. Tarazlıq vəziyyəti olaraq koordinat başlanğıcını, yəni  x=0 nöqtəsini 

götürsək, (93.7) funksiyasının qrafiki parabola olar 

(şəkil 93.1). Göründüyü kimi, bu potensial qaytarıcı 

divarları olan potensial çuxurdur (Ё87). Enerjisi E 

olan makroskopik osilyator bu çuxurun "divarları" 

arasında  x

1

x

2

 düz xətt parçası intervalında qalmaq, 

yəni x

2

 nöqtəsindən sağa, x

1

-dən isə sola keçməmək 

şərti ilə sağa-sola hərəkət edir. Mikroskopik 

osilyator üçün məsələni həll etmək məqsədilə bu 

potensial çuxurun daxilində yaranan durğun 

dalğalara baxmaq lazımdır. Bu prosedura prinsipcə 

simin məxsusi rəqslərinin tapılmasına (Ё86) tam 

oxşardır. Lakin burada məsələni riyazi cəhətdən 

mürəkkəbləşdirən bir xüsusiyyət vardır. Baxılan 

potensial çuxurun daxilində potensial enerji sabit 

qalmayıb, parabolik qanun üzrə dəyişir və buna görə 

də de-Broyl dalğasının uzunluğu 

(

)

u

E

m

−

=

2

h

λ

 

x

2

x

1

x

E

U

0

Шякил 

 

587

potensial çuxurun müxtəlif yerlərində eyni qalmayıb, orta hissədə azalır və  kənar 

hissələrdə isə artır. 

Kvant mexanikasında qüvvə anlayışından istifadə olunmur. Ona görə  də harmonik 

osilyatora potensial enerjisi u(x) funksiyası olan hissəcik kimi baxmaq lazımdır. Bu halda 

da belə bir çətinlik meydana çıxır:  u(x) funksiyasını elə normallaşdırmaq olmur ki, 

sonsuzluqda o, sıfra bərabər olsun, çünki x=

±∞ olduqda u(x)-in özü sonsuzluğa bərabər 

olur. Lakin bu çətinlik ideal hal üçündür. Çünki real sistemlərdə  x  artdıqca (93.7) 

parabolik asılılıqdan elə kənaraçıxmalar baş verir ki, u(

±∞) kəmiyyəti sonlu qiymət alır. 

Biz u(x) funksiyasının simmetrik olduğu halda, yəni u(+x)= u(-x) şərtinin ödəndiyi hala 

baxacaq və  x=0 nöqtəsində  u=0 olduğunu nəzərə alacağıq. Bundan başqa, biz hesab 

edəcəyik ki, (93.7) düsturu x-in ixtiyari qiymətində doğrudur. Lakin alınan nəticələr real 

harmonik osilyator üçün  x -in çox da böyük olmayan qiymətlərində  qənaətbəxş hesab 

oluna bilər. 

Birölçülü harmonik osilyator üçün Hamilton funksiyası, yəni kinetik və potensial 

enerjinin cəmi 

2

2

2

2

kx

m

P

H

x

+

=

   

 

            (93.8) 

olduğundan, Hamilton operatoru 

2

2

2

2

ˆ

ˆ

2

2

2

2

2

2

kx

dx

d

m

kx

m

P

H

x

+

−

=

+

=

h

 

            (93.9) 

olar. Onda harmonik osilyator üçün 

 Şredinger tənliyi  

ψ

ψ

E

H

=

ˆ

0

2

2

2

2

2

2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

ψ

ψ

kx

E

m

dx

d

h

 

 

    (93.10) 

olar. Bu tənliyin həlli olan 

ψ

(x) funksiyası  Q–funksiyalar sinfinə  mənsub olmalı (yəni, 

dalğa funksiyasının ödədiyi standart şərtlərə tabe olmalı) və 

ψ

(

±∞)=0 şərtini ödəməlidir. 

(73.10) tənliyində  x-dən adsız 

ζ

  dəyişəninə keçmək  əlverişlidir. Bu məqsədlə 

aşağıdakı işarələmələri qəbul edək: 

x

m

mk

mE

β

ζ

ω

β

α

=

=

=

=

 ,

 ,

2

2

h

h

h

              (93.11) 

Onda 

β

ζ

=

x

 olduğundan 

dx

d

dx

d

d

d

dx

d

β

ζ

ζ

=

=

, 

2

2

2

2

2

2

ζ

β

ζ

ζ

β

d

d

dx

d

d

d

dx

d

=

=

 

ifadələrini və (93.11)-i (93.10)-da nəzərə alsaq 

0

2

2

2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

ψ

ζ

β

α

ζ

ψ

d

d

   

                (93.12) 

 

588 

tənliyini alarıq. Yadda saxlayaq ki, (93.12) tənliyinin həlli olan 

ψ

 funksiyası 

ψ

(

ζ

) kimi 

yazılmalıdır. 

Əvvəlcə 

ζ

→±∞ olduqda (93.12) tənliyinin asimptotik həllini tapaq. Aydındır ki, 

ζ

>>1 

olduqda (93.12) tənliyində 

2

ζ

β

α

<<

 olduğundan 

β

α

-nı  nəzərə almamaq olar. Bu halda 

(93.12) tənliyi 

0

2

2

2

=

−

∞

∞

ψ

ζ

ζ

ψ

d

d

 

 

           (93.13) 

şəklinə düşür. Bu tənliyin həlli isə 

2

εζ

ψ

e

=

∞

 

 

                (93.14) 

şəklində axtarıla bilər. 

ε

 naməlum vuruğunu tapmaq üçün 

(

)

∞

∞

≈

+

=

ψ

ζ

ε

ε

ζ

ε

ζ

ψ

εζ

2

2

2

2

2

2

4

 

2

4

2

e

d

d

 

          (93.15) 

ifadəsini (93.13)-də yerinə yazmaq lazımdır. Onda 

4

⋅

ε

2

ζ

2

-

ζ

2

=0, 

ε

=

±1/2 

 

            (93.16) 

alınır. Beləliklə, (93.13) tənliyinin ümumi həllini onun xüsusi həllərinin xətti 

kombinasiyası kimi yazmaq olar: 

2

2

2

1

2

2

ζ

ζ

ψ

e

c

e

c

+

=

−

∞

.   

             (93.17) 

Lakin 

ζ

→±∞ olduqda dalğa funksiyasının sonlu olması xassəsi tələb edir ki, (93.17)-də 

c

2

=0 götürülməlidir. Dalğa funksiyası hələlik normallaşdırılmadığı üçün (93.17)-də c

1

=1 

götürmək olar. Beləliklə, (93.13) asimptotik tənliyinin standart şərtləri ödəyən həlli 

2

2

ζ

ψ

−

∞

= e

 

 

 

       (93.18) 

olar. 

Beləliklə, (93.12) tənliyinin ümumi həllini 

( ) ( ) ( )

( )

ζ

ζ

ψ

ζ

ζ

ψ

ζ

u

e

u

⋅

=

⋅

=

−

∞

2

2

 

         (93.19) 

kimi axtarmaq olar. Burada u(

ζ

)–ixtiyari funksiya olmayıb, elə  təyin olunmalıdır ki, 

(93.19) funksiyası yenidən eksponensial artan həllə çevrilməsin. Bu şərtin ödənməsi üçün 

u(

ζ

) funksiyasının polinom şəklində olması  tələb olunur. (93.19)-da naməlum  u(

ζ

) 

funksiyasını tapmaq üçün 

2

2

ζ

ψ

d

d

 törəməsini taparaq (93.12)-də yazmaq və alınan tənliyi 

2

2

ζ

−

e

 vuruğuna ixtisar etmək lazımdır. Onda 

0

1

2

2

2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

−

u

d

du

d

u

d

β

α

ζ

ζ

ζ

 

 

     (93.20) 

tənliyi alınır. Əgər (93.20)-də 

 

589

n

2

1

=

−

β

α

, (n=0,1,2,…) 

                 (93.21) 

şərti ödənsə, o, (82.12) Ermit tənliyi ilə eyni olur və (93.20) tənliyinin həlli olan u(

ζ

) 

funksiyası (82.11) Ermit polinomu ilə üst-üstə düşür. 

Qeyd edək ki, (93.20) tənliyində (93.21) şərti ödənməsə, yəni 

1

−

β

α

 cüt ədəd olmasa, 

onda həmin tənliyin həlli Ermit polinomu olmur. Bu halda 

ζ

2

=

z

 və 

ν

β

α

2

1

=

−

 işarə 

edərək (93.12) tənliyinin ümumi həlli üçün 

ψ

=c

1

D

ν

(z)+c

2

D

ν

(-z) 

 

            (93.22) 

ifadəsi alınır. Burada D

ν

(z) və D

ν

(-z)–parabolik silindr və ya Veber-Ermit funksiyalarıdır. 

Lakin 

ν

=n=0, 1, 2, … olduqda D

ν

(

±z) funksiyaları 

( )

2

z

H

n

 Ermit polinomları ilə ifadə 

olunur. 

Deməli, yalnız (93.21) şərti ödəndikdə (98.20) tənliyinin həlli olan və birölçülü 

harmonik osilyatorun dalğa funksiyasının (93.19) ifadəsinə daxil olan u(

ζ

) funksiyası 

xassələri Ё82-də ətraflı şərh olunmuş H

n

(

ζ

) Ermit polinomu ilə eyni olur. Onda (93.12) 

tənliyinin ortonormallıq şərtini ödəyən həlli 

( )

( )

ζ

ζ

ψ

ζ

n

n

H

Ce

2

2

−

=

   

              (93.23) 

kimi yazıla bilər. Burada C–normallaşdırıcı vuruqdur. Ё82-də  bu C normallaşdırıcı 

vuruğu üçün 

π

n

n

C

2

!

1

=

 ifadəsi tapılmışdır /bax: (82.26)/. 

Beləliklə, (93.12) tənliyinin ortonormallıq şərtini ödəyən həlli  

( )

( )

ζ

π

ζ

ψ

ζ

n

n

n

H

e

n

2

2

2

!

1

−

=

   

          (93.24) 

kimi olur. Burada H

n

(

ζ

)–n  tərtibli Ermit polinomu olub, (82.11), (82.14) və ya (82.15) 

ifadələri ilə  təyin olunur. Bundan başqa  H

n

(

ζ

) polinomları (82.16), (82.19) və (82.23) 

rekurent düsturlarını da ödəyir. 

Harmonik osilyatorun dalğa funksiyasının (93.24) ifadəsində 

ζ

  dəyişənindən  x 

dəyişəninə keçmək üçün dalğa funksiyasının normallıq  şərtindən və (93.11) 

əvəzləməsindən istifadə etmək olar. Doğrudan da,  

( )

[

]

( )

[

]

( )

[

]

∫

∫

∫

+∞

∞

−

−

+∞

∞

−

+∞

∞

−

=

=

=

dx

x

H

e

n

d

dx

x

n

x

n

n

n

β

β

π

ζ

ζ

ψ

ψ

β

2

2

2

2

2

!

1

1

 

ifadəsindən 

( )

( )

h

ω

β

β

π

β

ψ

β

m

x

H

e

n

x

n

x

n

n

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

−

  

, 

2

!

1

2

2

1

2

            (93.25) 

alırıq. Deməli, birölçülü harmonik osilyator üçün (93.10) Şredinger tənliyinin həlli 

(93.25) düsturu ilə  təyin olunan və  Q–funksiyalar sinfinə  mənsub olan 

ψ

n

(x) 

funksiyasıdır. Bir daha xatırladaq ki, bu həll yalnız (93.21) şərti ödəndikdə alınır. 

 

590 

Harmonik osilyatorun (92.25) məxsusi funksiyalarına uyğun məxsusi enerjilərini 

tapmaq üçün (93.11) ifadələrini (93.21) şərtində  nəzərə almaq və sonra buradan E 

enerjisini tapmaq lazımdır. Belə ki,  

mk

mE

n

h

2

1

2

=

=

+

β

α

 

ifadəsində (93.5)-i nəzərə almaqla harmonik osilyatorun enerjisinin 

E

n

=ħ

ω

(n+1/2), n=0,1,2,… 

 

  (93.26) 

kimi təyin olunduğunu, yəni diskret qiymətlər aldığını (kvantlandığını) tapırıq. 

Deməli, dalğa funksiyasının standart şərtləri ödəməsi (Q–funksiyalar sinfinə mənsub 

olması)  şərti tələb edir ki, (93.21) şərti ödənməlidir və bu da öz növbəsində harmonik 

osilyatorun enerjisinin diskret qiymətlər almasına gətirir. (93.24)-(93.26) ifadələrindən 

görünür ki, birölçülü harmonik osilyatorun enerji səviyyələri cırlaşmamışdır, yəni hər bir 

E

n

 enerji səviyyəsinə bir dənə 

ψ

n

 məxsusi funksiyası uyğun gəlir. 

Harmonik osilyatorun enerji spektrində iki qonşu səviyyənin enerjiləri fərqini (93.26) 

düsturuna əsasən tapaq: 

∆E

n

=E

n+1

-E

n

=ħ

ω

. 

 

         (93.27) 

Deməli, birölçülü harmonik osilyatorun qonşu enerji səviyyələr arasındakı  məsafə 

eynidir, yəni onlar ekvidisdant səviyyələrdir. 

Maraqlıdır ki, (93.26) düsturu harmonik osilyator üçün Plank nəzəriyyəsində (köhnə 

kvant nəzəriyyəsində Ё8) olan 

E

n

=n

ε

0

=nħ

ω

 

 

 

         (93.28) 

düsturundan fərqlənir. Belə ki, (93.26) düsturunda birölçülü harmonik osilyatorun kvant 

ədədi "yarımtam"  ədəd olub (n+1/2)-ə  bərabərdir. Bunun nəticəsində osilyatorun əsas 

(normal) halında, yəni n=0 olduqda onun enerjisi, (93.28)-dən fərqli olaraq, sıfra bərabər 

deyildir: 

2

0

ω

h

=

E

. 

 

 

       (93.29) 

Harmonik osilyatorun bu E

0

 enerjisi "sıfrıncı enerji" adlanır. Bu ad onunla əlaqədardır 

ki, hətta temperaturun mütləq sıfrında da bu ħ

ω

/2 enerjisi yox olmur. Deməli, mütləq 

sıfra bərabər olan temperaturda osilyator heç də sükunətdə olmur. Yəni onun rəqsləri 

dayanmır və o, deyildiyi kimi, sıfrıncı rəqslər edir. Bu çox mühüm nəticə yalnız müasir 

kvant mexanikası təsəvvürlərinə əsasən alınır və klassik fizika baxımından heç cür başa 

düşülmür. Qeyd edək ki, harmonik osilyatorun sıfrıncı rəqslərinin mövcud olması qeyri-

müəyyənlik münasibətlərindən (Ё69) çıxan labüd nəticədir. Doğrudan da, kvazielastik 

qüvvənin təsiri altında olan rabitəli hissəcik mütləq sıfır temperaturunda sükunətdə olsa 

idi, onun impulsu sıfra bərabər olardı, koordinatı da müəyyən dəqiq qiymət alardı. Bu isə 

o deməkdir ki, hissəciyin elə bir halı vardır ki, həmin halda onun koordinatı və impulsu 

eyni zamanda və  dəqiq məlumdur. Belə  nəticə isə qeyri-müəyyənlik münasibətlərinə 

ziddir. Göstərmək olar ki, ħ

ω

/2 sıfrıncı enerji məhz qeyri-müəyyənlik münasibətlərinin 

ödənməsi üçün əsas halda osilyatorun malik olmalı olduğu  ən kiçik enerjidir, yəni 

hissəciyin dalğa xassələrinə malik olmasının nəticəsidir. Sıfrıncı enerjinin mövcudluğu 

osilyatorun şüalanma tezliyinə təsir etmir. 

 

591

Harmonik osilyatorun sıfrıncı enerjiyə malik olmasının qeyri-müəyyənlik 

münasibətlərinə uyğun gəldiyini göstərək. Bu məqsədlə hissəciyin koordinatlarının qeyri-

müəyyənliyi olaraq orta kvadratik xətanı, yəni orta kvadratik fluktuasiyanın kvadrat 

kökünü götürək. 

2

ε

=

∆x

 

 

 

     (93.30) 

Burada 

( )

2

2

2

x

x

−

=

ε

   

 

        (93.31) 

kimi təyin olunur. Koordinat başlanğıcını tarazlıq vəziyyətinə uyğun gələn nöqtədə 

götürsək, ümumiliyi pozmadan, 

0

=

x

 yaza bilərik. Onda (93.30) və (93.31)-ə əsasən 

2

x

x

=

∆

 

 

 

      (93.32) 

alarıq. (93.6)-nı (93.32)-də yazaraq, Ё46-da verilmiş düsturlardan istifadə etsək 

2

2

2

2

2

1

cos

a

t

a

x

x

=

=

=

∆

ω

 

         (93.33) 

yaza bilərik. Lakin 

2

2

0

2

1

ω

ma

E

=

 (Ё46) olduğundan 

k

E

m

E

a

0

2

0

2

2

2

=

=

ω

 

və 

k

E

x

0

=

∆

 

 

 

        (93.34) 

alarıq. Bundan başqa, analoji yolla 

(

)

0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

sin

mE

a

m

t

a

m

m

p

p

x

x

x

=

=

=

=

=

=

∆

ω

ω

ω

υ

            (93.35) 

olduğunu tapırıq. Beləliklə, 

ω

0

0

E

k

m

E

p

x

x

=

=

∆

⋅

∆

.  

                (93.36) 

Lakin qeyri-müəyyənlik münasibətləri üçün (77.19) ifadəsinə əsasən 

2

h

≥

∆

⋅

∆

x

p

x

 

 

 

         (93.37) 

olduğunu nəzərə alaraq və burada bərabərlik işarəsi (xətaların hasilinin aşağı sərhəddini) 

götürərək, (93.36) və (93.37) düsturlarına əsasən 

2

 ,

2

0

0

ω

ω

h

h

=

=

E

E

 

 

592 

alarıq ki, bu da (93.29) ifadəsidir. Deməli, osilyatorun sıfrıncı enerjisi əsas halda (n=0) 

qeyri-müəyyənlik münasibətlərinin ödənməsi üçün doğrudan da onun tələb olunan 

minimal enerjisidir. 

(93.32), (93.33) və (93.34) ifadələrində istifadə etdiyimiz 

0

=

x

  və 

k

E

x

=

2

 

qiymətlərini kvant mexanikasında orta qiymətin tapılması haqqında teoremə görə  də 

(Ё75) hesablamaq olar. Həmin teoremə görə 

( )

( )

∫

+∞

∞

−

−

⋅

⋅

⋅

=

=

ζ

ζ

ζ

ζ

π

β

ζ

β

ζ

d

e

H

H

n

x

n

n

n

2

 

!

2

1

1

1

 

olar. H

n

(

ζ

) Ermit çoxhədliləri üçün (82.16) rekurent düsturunu və (82.28) ortonormallıq 

şərtini nəzərə alsaq dərhal 

0

=

x

 yaza bilərik. 

Eyni qayda ilə 

( )

( )

∫

+∞

∞

−

−

⋅

⋅

⋅

=

=

ζ

ζ

ζ

ζ

π

β

ζ

β

ζ

d

e

H

H

n

x

n

n

n

2

 

!

2

1

1

1

2

2

2

 

inteqralında həmin rekurent düstura əsasən 

(

)

(

)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

+

+

+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

−

=

=

+

=

+

−

+

−

2

2

1

1

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

1

n

n

n

n

n

n

n

H

H

n

H

H

n

n

H

H

n

H

ζ

ζ

ζ

 

olduğunu və (82.28) ortonormallıq şərtini nəzərə alaraq 

(

)

( )

[

]

β

ζ

ζ

π

β

ζ

2

1

2

1

!

2

1

1

2

2

2

+

=

+

⋅

=

∫

+∞

∞

−

−

n

d

e

H

n

n

x

n

n

 

yaza bilərik. (93.26), (93.5) və (93.11) ifadələrini burada nəzərə alsaq isə 

k

E

x

=

2

 və ya 

2

x

k

E

=

 olar. 

Harmonik osilyatorun əsas halının enerjisinin sıfırdan fərqli olduğunu, yəni sıfrıncı 

rəqslərin mövcud olduğunu təcrübə yolu ilə də isbat etmişlər. Bu məqsədlə temperaturun 

dəyişməsindən asılı olaraq işığın kristallardan səpilməsinin necə  dəyişdiyini tədqiq 

etmişlər. Məlumdur ki, işığın səpilməsi atomların rəqsləri sayəsində baş verir. Temperatur 

azaldıqca klassik mexanika təsəvvürlərinə görə atomların rəqslərinin amplitudu sıfra 

qədər kiçilməli və mütləq sıfra yaxın temperaturlarda işığın səpilməsi baş verməməlidir. 

Lakin temperatur azaldıqca kvant mexanikası baxımından rəqslərin orta amplitudu sıfra 

qədər azalmayıb, sıfrıncı rəqslərin mövcudluğu sayəsində müəyyən limit qiymətinə qədər 

kiçilir. Ona görə  də temperatur aşağı düşdükcə  işığın səpilməsi də müəyyən limitə 

yaxınlaşmalıdır. Təcrübələrdə  işığın səpilməsi intensivliyinin məhz belə azalması 

müşahidə olunur. 

 

593

İndi isə harmonik osilyatorun (93.24) və ya (93.25) dalğa funksiyalarının xassələrini 

araşdıraq. Aydındır ki, (82.28) düsturuna uyğun olaraq bu funksiyalar ortonormal sistem 

əmələ gətirirlər: 

( ) ( )

'

'

 

 

nn

n

n

dx

x

x

δ

ψ

ψ

=

∫

+∞

∞

−

.  

              (93.38) 

(93.26) ilə təyin olunan hər bir E

n

 məxsusi qiymətinə bir dənə (93.24) və ya (93.25) 

məxsusi funksiyası uyğun gəlir. Ona görə də (82.13) düsturlarını nəzərə almaqla, (93.26) 

və (93.24)-ə  əsasən harmonik osilyatorun bəzi ilkin enerji səviyyələri və dalğa 

funksiyaları üçün aşağıdakı ifadələri yaza bilərik: 

( )

(

)

2

2

1

0

0

2

  

,

2

1

x

e

x

E

β

π

β

ψ

ω

−

=

= h

 

( )

2

2

1

1

1

2

2

2

1

  

,

2

3

x

xe

x

E

β

β

π

β

ψ

ω

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

= h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        (93.39) 

( )

(

)

2

2

2

1

2

2

2

2

4

8

1

  

,

2

5

x

e

x

x

E

β

β

π

β

ψ

ω

−

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

= h

 

( )

(

)

2

3

2

1

3

3

3

12

8

48

1

  

,

2

7

x

e

x

x

x

E

β

β

β

β

π

β

ψ

ω

−

⋅

−

⋅

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

= h

 

(93.24), (93.25) və (93.39) ifadələrindən görünür ki, n kvant ədədi enerjidən başqa 

həm də 

ψ

n

(x) dalğa funksiyasının cütlüyünü təyin edir. Doğrudan da, n-in cüt 

qiymətlərində Ermit polinomu H

n

(x) və onunla birlikdə 

ψ

n

(x) dalğa funksiyası cüt 

funksiya olur, yəni x-i –x ilə əvəz etdikdə öz işarəsini dəyişmir /bax: (82.11), (82.13) və 

(82.25)/, n–tək ədəd olduqda isə işarəsini dəyişir: 

ψ

n

(-x)=

ψ

n

(x),   n–cüt ədəd olduqda 

 

 

 

 

 

 

 

 

        (93.40) 

ψ

n

(-x)=-

ψ

n

(x),   n–tək ədəd olduqda 

Deməli, harmonik osilyatorun dalğa funksiyaları n=0, 1, 2, 3, …. qiymətlərində növbə ilə 

gah cüt və gah da tək funksiyalar olur. 

Bu nəticəni ümumi halda aşağıdakı kimi göstərmək olar. Əgər hissəciyin birölçülü 

hərəkəti üçün 

( )

( )

[

]

( )

0

 

2

2

2

2

=

−

+

x

x

u

E

m

dx

x

d

ψ

ψ

h

 

Şredinger tənliyində u(x) potensial enerji funksiyası cüt funksiyadırsa, yəni 

u(x)=u(-x) 

şərti ödənirsə, onda bu tənlikdə x-i –x ilə əvəz edərək 

 

594 

( )

( )

[

]

( )

0

 

2

2

2

2

=

−

−

+

−

x

x

u

E

m

dx

x

d

ψ

ψ

h

 

alarıq. Deməli, bu halda 

ψ

(x) və 

ψ

(-x) funksiyaları eyni bir dalğa tənliyini ödəyir və eyni 

bir enerji səviyyəsinə mənsubdurlar. Bu, o deməkdir ki, enerji səviyyəsi cırlaşmamışdırsa, 

ψ

(x) və 

ψ

(-x) funksiyaları bir-birindən yalnız sabit A vuruğu ilə fərqlənirlər: 

ψ

(x)=A

ψ

(-x) 

Bu ifadədə x-i –x ilə əvəz etsək 

ψ

(-x)=A

ψ

(x) və ya 

ψ

(x)=A

2

ψ

(x) 

alarıq ki, buradan da 

A

2

=1, A=

±1 

olduğu görünür. Deməli, potensial enerji koordinatın cüt funksiyasıdırsa, onda bütün 

məxsusi funksiyalar ya cüt, ya da tək funksiya ola bilər. 

Cırlaşma olan halda Şredinger tənliyinin həlli olan məxsusi funksiyalar müəyyən 

cütlük xassələrinə malik olmaya da bilər. Lakin bu məxsusi funksiyaların həmişə elə xətti 

kombinasiyalarını qurmaq olar ki, bu xətti kombinasiyalardan alınan funksiyalar 

müəyyən cütlüyə malik olsunlar. 

Yuxarıda göstərdik ki, harmonik osilyatorun 

ψ

n

  məxsusi funksiyalarının cütlüyü n 

kvant ədədinin cütlüyü ilə eynidir. 

(93.39)-dan görünür ki, harmonik osilyatorun əsas halının 

ψ

0

(x) dalğa funksiyası və 

buna uyğun ehtimal sıxlığı 

( )

2

2

0

x

e

x

β

π

β

ψ

−

=

   

              (93.41) 

riyaziyyatdan məlum olan Qaus funksiyası kimidir. 

93.2  şəklində 

ψ

0

(x) funksiyasının (a) və 

( )

2

0

x

ψ

 funksiyasının (b) qrafikləri 

verilmişdir. 93.2,b  şəklindəki qrafik göstərir ki, osilyatorun əsas halında hissəciyin 

vəziyyətini çoxlu sayda təyin etdikdə, biz onu ən çox tarazlıq vəziyyəti, yəni x=0 nöqtəsi 

ətrafında tapmış olarıq. Lakin, bundan başqa, hissəciyi yalnız klassik osilyatorun rəqs 

amplitudunun ikiqat qiymətinə  bərabər olan oblastda deyil, həm də hissəciyin potensial 

enerjisinin onun tam enerjisindən böyük olduğu "qadağan olunmuş" oblastda (93.2,b 

şəklində  şaquli qırıq xətlərdən sağda və  solda)  da  müşahidə olunması ehtimalı  sıfırdan 

fərqlidir. Bu qrafiki harmonik rəqs edən makroskopik hissəciyin ümumi yolun hər hansı 

dx hissəsində müşahidə olunması ehtimalının paylanması qrafiki ilə müqayisə etmək