Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Ё89. Sonlu dərinliyə malik olan potensial çuxurda hissəciyin hərəkəti
|
Шякил ( )
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ oblasta daxil ola bilmir və bu oblastda onun olması ehtimalı sıfra bərabərdir, yəni həmin oblastda dalğa funksiyası ψ (x)=0 olur. Dalğa funksiyasının kəsilməz olması tələb edir ki, x=0 nöqtələrində ψ (0)=0 sərhəd şərti ödənməlidir. Deməli, yalnız I və II oblastlarında hissəciyin dalğa funksiyasını tapmaq tələb olunur. Ё87-dəki mülahizələrə əsasən I və II oblastlar ğıdakı kimi yazmaq olar: ( )
x mE k k dx d 2
≤ =
+ 0 , 2 , 0 2 2 1 1 2 1 2 1 h ψ ψ (88.2) ( ) ( ∞ ≤ ≤ = − + x l u E m dx d , 0 2 2 0 2 2 2 2 ψ ψ h . ) (88.3) (88.3) tənliyini həll etmək üçün E=u 0 trivial halından başqa (bu halda ψ 2 (x)=const olur) (88.3) Şredinger tənliyi E>u 0 və E<u 0 kimi iki hala baxaq. 1.
0 olan halda II oblastda
557
( ) 0 2 , 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 > − = = + u E m k k dx d h ψ ψ (88.4) kimi olur. Ona görə də (87.5) tənliyi üçün (87.7) həllinə uyğun olaraq I və II oblastda (88.2) və (88.4) tənliklərinin ümumi həllərini aşağıdakı kimi yaza bilərik: I ψ
(x)=A 1 sink 1 x+B 1 cosk 1 x,
(88.5) II
ψ 2 (x)=A 2 sink 2 (x-l)+B 2 cosk 2 (x-l) ψ 1 (0)=0 sərhəd şərtinə əsasən B 1 =0 alınır. Dalğa funksiyasının özü və birinci tərtib törəməsi kəsilməz olduğundan ψ 1 (l)= ψ 2 (l),
(88.6) ψ 1 '(l)= ψ 2 '(l) şərtləri də ödənməlidir. Qeyd edək ki, (88.6) ifadələri bəzən tikib calamaq şərtləri də adlandırılır. B 1 =0 olduğunu və (88.6) sərhəd şərtlərini (88.5) tənliklərində nəzərə alsaq A 2
və B 2 əmsallarını A 1 ilə ifadə etməyə imkan verən aşağıdakı düsturları tapmış olarıq: l k A k k A 1 1 2 1 2 cos =
(88.7) B 2 =A 1 sink 1
(88.7) ifadələrini (88.5)-də yazmaqla E>u 0 olan hal üçün (88.2) və (88.3) tənliklərinin ψ 1 (0)=0 və (88.6) sərhəd şərtlərini ödəyən ümumi həllərini alırıq: I ψ 1 =A 1 sink 1 x,
(88.8) II
( ) ( ) l x k l k A l x k l k A k k − ⋅ + − ⋅ = 2 1 1 2 1 1 2 1 2 cos
sin sin
cos ψ . (88.7) şərtləri həmişə ödənə bildiyindən, (88.8) tənliklərindən görünür ki, E>u 0 olduqda hissəciyin hərəkəti fəzanın müəyyən sonlu oblastında lokallaşmamışdır, yəni infinit hərəkətdir və hissəciyin enerji spektri kəsilməzdir. Doğrudan da, (88.8) funksiyaları hər yerdə sıfırdan fərqlidir. 2. İndi isə E<u 0 olan hala baxaq. Bu halda II oblastda (88.3) Şredinger tənliyi II ( ) 0 2 , 0 0 2 2 2 2 2 2 2 > − = = −
u m k k dx d h ψ ψ (88.9) kimi yazıla bilər və I oblastında (88.2) tənliyi dəyişməz qalır. Aydındır ki, E<u 0 halında (88.2) və (88.9) Şredinger tənliklərinin ümumi həlləri aşağıdakı kimi olar: I ψ 1 =A 1 sink 1 x, II
(88.10) kx kx e D e C 2 2 2 + = − ψ Məlumdur ki, dalğa funksiyası hər yerdə sonlu olmalıdır. Lakin (88.10) ifadəsində x →∞ olduqda e kx qeyri məhdud olaraq artır, yəni sonlu olmur. Ona görə də dalğa funksiyasının sonlu olması xassəsi tələb edir ki, (88.10) ifadəsində D 2 =0 götürülməlidir. 558
Beləliklə, (88.10) həllərinin əvəzinə ψ 1 =A 1 sink 1 x
(88.11) kx e C − = 2 2 ψ ifadələrini alırıq. (88.6) sərhəd şərtlərinə əsasən (88.11)-dən A 1 sink 1 l=C 2
-kl
(88.12) A 1
1 cosk 1 l=-kC 2
-kl ifadələrini yaza bilərik. (88.12) ifadələrini tərəf-tərəfə bölərək enerjinin kvantlanması şərtini alırıq:
1
1
(88.13) Doğrudan da, bu ifadədən ⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 1
k arcctg n l k π
(88.14) alınır ki, burada n=0, ±1,±2,… ixtiyari tam ədəddir. (88.13) və (88.14) tənliklərini həll etmək üçün qrafik üsuldan istifadə etmək əlverişlidir. Bu məqsədlə aşağıdakı kimi çevirmə aparaq: 0 0 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 sin u E E E u k k l k ctg l k = − + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = + = . Lakin (88.2)-yə əsasən 1 2
m E h ± = olduğunu nəzərə alsaq (88.13) tənliyi aşağıdakı şəklə düşər:
1 0 , 2 sin = ⋅ ± = h (88.15) (88.15) tənliyini həll etmək üçün 88.2 şəklində göstərilmiş qurmadan istifadə olunur. Belə ki, (88.15) ifadəsinin sağ və sol tərəfini z=siny və y mu l z ⋅ ± = 0 2 h funksiyaları kimi götürərək z(y) funksiyasının y=k 1
qrafiklər uyğun olaraq, sinusoid və düz xətt olur. (88.13) və ya (88.15) tənliyinin həlləri düz xətlə sinusoidin kəsişmə nöqtəsinə uyğun gələn y qiymətləri olacaqdır. Lakin bu kəsişmə nöqtələrinin heç də hamısı deyil, yalnız (88.13)-dəki işarəyə uyğun gələn nöqtələr, yəni cüt rüblərdə (II,IV) kəsişmə nöqtələri götürülməlidir (kotangens funksiyası II,IV rüblərdə mənfi işarəlidir). Bu nöqtələrin sayı sonlu ədəddir. (88.2) və (88.15) ifadələrinə əsasən bu y n qiymətlərinə hissəciyin uyğun gələn enerjiləri 2 2
2 n n y ml E ⋅ = h (88.16)
559
olar. 88.2 şəklindəki qrafiklərdən görünür ki, (88.15) tənliyi heç də həmişə həllə malik olmur. Rabitəli (əlaqəli) halın (enerji səviyyəsinin) meydana çıxması üçün potensial çuxur kifayət qədər dərin olmalıdır. Məsələn, potensial çuxurun birinci enerji səviyyəsinin meydana çıxmasına uyğun olan u 0min minimum dərinliyini tapaq. 88.2 şəklindən görünür ki, z düz xətti sinusoidin 2 1
= l k təpəsindən keçməsi ilk enerji səviyyəsinin yaranması üçün şərtdir. Bu halda həmin düz xəttin y oxuna meyl bucağının tangensi π π π α 2 2 2 sin sin 1 = = =
l k tg
olar. Deməli, 1-ci enerji səviyyəsinin yaranmasına uyğun olan minimum potensial enerji (88.15)-ə əsasən z =siny y 1
2
3
z y mU l z 0 2 h =
mU l z 0 2 h − = z =siny y 1
2
3
z y mU l z 0 2 h =
mU l z 0 2 h − = Шякил π α 2 2 sin min 0 = = =
l y y tg h
və ya 2 2 2 min
0 8ml u h π =
(88.17) olar. u 0min minimum dərinliyinə malik olan potensial çuxurda birinci enerji səviyyəsi 2 1 π =
k və ya 2 2
= ⋅l mE h
şərtinə əsasən tapılır. Buradan 2 2 2 8ml E h π =
(88.18) alınır. (88.17) və (88.18) ifadələrinin müqayisəsindən görünür ki, E=u 0min və deməli, birinci enerji səviyyəsi E 1 =E-u 0min =0 olur. Deməli, birinci səviyyədə enerji sıfra bərabərdir və çuxurda digər səviyyələr də yoxdur. Potensial çuxurun dərinliyi artdıqca səviyyənin enerjisi mənfi işarəli olur. Qrafikdə bu, düz xəttin meyl bucağının kiçilməsinə uyğun gəlir. Bu meyl bucağının müəyyən qiymətində (88.15)-in birinci səviyyəyə uyğun gələn kökü ilə yanaşı ikinci kök də meydana çıxır. Bu isə potensial çuxurda ikinci enerji səviyyəsinin yaranmasına uyğun gəlir. Potensial çuxurun dərinliyi artdıqca qrafikdə düz xəttin sinusoidi kəsdiyi nöqtələrin sayı artır və bu da potensial çuxurda enerji səviyyələrinin sayının çoxalması deməkdir. Nəhayət, onu da qeyd edək ki, u 0
0min olduqda potensial çuxurda hissəciyin rabitəli halının (enerji səviyyəsinin) olmaması klassik fizikada oxşarı olmayan özünəməxsus kvant mexaniki effektdir. Doğrudan da klassik fizika təsəvvürlərinə görə, potensial çuxurun dərinliyi nə qədər kiçik olsa da, kinetik enerjisi potensial çuxurun dərinliyindən
560
kiçik olan hissəcik belə potensial çuxura düşdükdə uzun müddət orada qala bilər. Kvant mexanikasında isə bu müddəa ümumi şəkildə doğru deyildir. Deməli, 88.1 şəklində təsvir olunmuş formaya malik potensial çuxurda E
0 olan halda hissəciyin enerjisi sonlu sayda diskret qiymətlər alır. Əgər potensial çuxurun dərinliyi u 0 çox kiçik olsa, (E>u 0 halı), onda ola bilər ki, hissəciyin enerjisinin heç bir dənə də məxsusi qiyməti alınmasın, yəni sonlu oblastda hissəciyin hərəkəti stasionar (finit) hərəkət olmasın. Deməli, kifayət qədər dar olmasına baxmayaraq, dayaz potensial çuxurda hissəciyin halı əlaqəli (bağlı) hal olmaya bilər. Bu, o deməkdir ki, hissəcik çuxur tərəfindən "zəbt olunmur" və yalnız infinit hərəkət edə bilər. Bu isə klassik mexanika təsəvvürlərinə zidd olan kvant mexaniki nəticədir. Belə ki, istənilən qədər zəif cazibəni təsvir edən ixtiyari potensial çuxurda klassik fizikaya görə finit hərəkət mövcud ola bilər. Bundan başqa klassik mexanikada E
0 olduqda hissəcik x>l olan oblasta nüfuz edə bilməz. Kvant mexanikasında isə məsələ başqa cürdür. Belə ki, (88.11)-ə görə x>l oblastında hissəciyin ψ 2
uzaqlaşdıqca eksponensial qanun üzrə kəskin şəkildə azalır, lakin x-in ixtiyari sonlu qiymətində sıfra bərabər olmur. Bu isə o deməkdir ki, E <u 0 enerjisinə malik olan hissəciyin x>l oblastında olması ehtimalı sıfırdan fərqlidir, yəni hissəcik klassik mexanika təsəvvürlərinə zidd olaraq, u 0 potensial enerjinin öz E tam enerjisindən böyük olduğu oblasta nüfuz edə bilir. Mikrohissəciklərin potensial çəpərdən keçməsi kimi mühüm kvant mexaniki hadisə məhz bu effektlə izah olunur.
çuxurda hissəciyin hərəkəti 87 və 88-ci paraqraflarda sonsuz dərin və bir tərəfi sonsuz hündür olan potensial çuxurlarda hərəkət edən hissəcik üçün Şredinger tənliyinin həllinə baxılmışdır. Lakin hissəciyin sonlu dərinliyə malik olan potensial çuxurda hərəkəti üçün Şredinger tənliyinin həlli də bəzi hallarda praktik cəhətdən müəyyən əhəmiyyət kəsb edir. 89.1 şəklində verilmiş formada sonlu dərinliyə malik olan birölçülü potensial çuxurun daxilində E tam enerjili əlaqəli hissəcik üçün Şredinger tənliyini həll edək. Əlaqəli hissəciyin u 0
potensial və T kinetik enerjisi arasında u 0 >T münasibəti ödəndiyindən və potensial enerjinin hesablanması üçün sıfırıncı səviyyənin seçilməsi ixtiyari olduğundan fərz edək ki, potensial enerjinin hesablama başlanğıcı olaraq potensial çuxurun dibi götürülmüşdür. 89.1 şəklində təsvir olunan potensial çuxurda hissəciyin potensial enerjisi aşağıdakı kimi təyin olunur.
Шякил 89.1. ( )
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < < − − < =
x u l x l l x u x u , , 0 , 0 0
(89.1) Bu hal üçün
561
( ) ψ ψ ψ E x u dx d m = + −
2 2 2 2 h
(89.2) birölçülü Şredinger tənliyini həll edərək alınan həllər içərisindən yalnız Q funksiyalar sinfinə mənsub, yəni bütün fəzada kəsilməz və sonlu olan funksiyaları götürmək lazımdır. II oblastda u=0 olduğundan (89.2) tənliyi (87.5) şəklinə düşür: 2 2 2 2 2 , 0 h mE k k dx d = = + ψ ψ .
(89.3) Bu tənliyin xüsusi həlləri ψ 2 =coskx, sinkx kimi olub, klassik mexanika qanunlarına tabe olan hissəcik üçün harmonik rəqslərə uyğundur. Ona görə bu həlləri bəzən osilyator həlləri də adlandırırlar. I və III oblastlarında u=u 0 >E şərti ödəndiyindən (89.2) tənliyini ( )
u m dx d − = = − 0 2 2 2 2 2 , 0 h χ ψ χ ψ (89.4) kimi yazmaq olar. Aydındır ki, bu tənliyin həlli ψ =e ± χ
(89.5) şəklində axtarıla bilər. Lakin bu funksiyanın sonlu olması üçün ∞ →
olduqda, o, qeyri- məhdud olaraq artmamalı, yəni azalmalıdır. Ona görə də x<-l olan I oblastda (89.5) funksiyasının ifadəsində "müsbət", x>l olan III oblastda isə "mənfi" işarəsi götürülməlidir. Burada belə bir məsələyə diqqət yetirmək vacibdir ki, potensial çuxurdan kənarda hissəciyin potensial enerjisi onun tam enerjisindən böyük olduğu üçün (u 0 >E) klassik fizika qanunlarına tabe olan hissəcik potensial çuxurun divarlarını aşaraq kənara çıxa bilməz. Ona görə də x koordinatı x=-l və x=l olan nöqtələr potensial çuxurun daxilində yerləşən hissəciyin rəqsi hərəkəti üçün dönmə nöqtələri olur. Kvant mexanikasına görə isə əksinə, hissəciyin potensial çuxurdan kənarda müşahidə olunması ehtimalı vardır. Doğrudan da, (89.5) ifadəsindən görünür ki,
2 ψ kimi təyin olunan bu ehtimal, potensial çuxurun divarlarının u 0 hündürlüyü sonlu olduqda, x<-l və x>l oblastlarında eksponensial qanunla azalırsa da x-in sonlu qiymətlərində sıfra bərabər olmur.
Beləliklə, biz 89.1 şəklində göstərilmiş üç oblastın hər birində (89.2) Şredinger tənliyinin həllini tapdıq. İndi bu həlləri həmin oblastların sərhədlərində bir-birinə elə "tikib-calamaq" lazımdır ki, ψ -funksiya bütün fəzada kəsilməz və hamar əyri kimi göstərilə bilsin. Bu əyrinin kəsilməz olması üçün osilyasiya edən coskx və sinkx həlləri x=-l və x=l nöqtələrində (89.5) eksponensial həlləri ilə üst-üstə düşməli (dalğa funksiyasının kəsilməzliyi şərti), həmin əyrinin hamar olması üçün isə funksiyaların birinci tərtib törəmələri həmin dönmə nöqtələrində bir-birinə bərabər olmalıdır (dalğa funksiyasının birinci tərtib törəməsinin kəsilməzliyi şərti): ( ) ( )
( ) ( )
dx d dx d l l dx d dx d l l 3 2 3 2 2 1 2 1 ,
, ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ = = = − = − (89.6) Dərhal başa düşülür ki, bu şərtlər yalnız bəzi xüsusi hallarda eyni zamanda ödənə bilər.
562 Əvvəlcə kəsilməzlik şərtinin ödəndiyi halı müəyyən edək. Baxdığımız halda sahə simmetrik olduğundan sərhədlərin yalnız birinə baxmaqla kifayətlənmək olar. Ona görə də II və III oblastların sərhədində dalğa funksiyasının kəsilməzlik şərtinə baxaq. Bu məqsədlə qabaqcadan qeyd edək ki, kosinus – cüt, sinus isə tək funksiya olduğundan, yəni cos(-
α )=cos
α , sin(-
α )=-sin
α
(89.7) şərti ödəndiyindən II oblastda ψ 2
ə tək Burada A–normallaşdırıcı vuruqdur. dalğa funksiya lması
şəklində götürülməlidir. Burada B–norm c ur dur. (89.6) kə tələb
χ
(89.10) bərabərliyi ödənməlidir. Qeyd edək k ö əndikd ə fu
məsi Şredinger tənliyinin həlləri olan ksiyaları cüt v funksiyalar olmaqla iki növə bölünürlər. Əvvəlcə həllin cüt funksiya olduğu hala baxaq: ψ 2
(89.8) x →∞ olduqda sının sonlu o tələbinə uyğun olaraq, III oblastda (87.5) dalğa funksiyası, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, ψ 3
- χ
(89.9) allaşdırı ı v uq silməzlik şərti edir ki, x=l olduqda i, hətta bu şərt d ə bel
nksiyanın törə x=l nöqtəsində ümumiyyətlə "kəsilən" ola bilər (yəni, sıçrayışla dəyişə bilər). Bir oblastdan digərinə keçdikdə funksiyanın hamar dəyişməsi üçün a x a x dx d d ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ψ ψ dx = = ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ = ⎟ ⎠ ⎜ ⎝ 3 2
(89.11) şərti ödənməlidir, yəni birinci tərtib törəmələr sərhəddə bir-birinə bərabər olmalıdır.
olduğunu taparıq. Eyni qayda ilə göstərm i, ψ 2 üçün (89 ksiya
x k ⋅
χ
(89.13) şərti alınır. üçün (89.3) və (89.4) ifadələrindən istifadə edərək (89.12) düsturunu aşkar şək (88.8) və (89.9)-u (89.11)-də nəzərə alsaq və (89.10) bərabərliyindən istifadə etsək ktgkl= χ
(89.12) ək olar k .8) əvəzinə tək fun ψ 2
assəsinə əsasən k və χ
ildə yazaq: ( ) E u m l mE tg mE − = ⋅ 0 2 2 2 2 2 2 2 h h h . (89.14) Göründüyü kimi, (89.14) ifadəsində dəyişə bilən yeganə kəmiyyət E enerjisidir və özü də (89.12) və (89.13) ifadələri E-yə nəzərən transendent (89.14) şərti E-nin yalnız müəyyən qiymətlərində ödənə bilər. Analoji olaraq (89.13) şərti də enerjinin müəyyən seçilmiş qiymətləri üçün ödənir. Beləliklə, (89.12) və (89.13) şərtləri sonlu dərinliyə malik olan potensial çuxurda yerləşən hissəciyin diskret enerji səviyyələrinə malik olmasını göstərir. Bir daha qeyd edək ki, bu mühüm nəticə (89.2) Şredinger tənliyinin həllərinin sonlu və kəsilməz olması (standart şərtlərə tabe olması) tələbinə uyğun olaraq alınır. (89.14)-dən görünür ki,
563 tənl kl, η = χ l
(89.15) işarələrini qəbul edək. Onda (89.12) tən ki tə fini l- vurara (89.16) yaza bilərik. (89.15), (89.3) və (89.4) ifad sasən tapırıq k iklərdir. Bu tənlikləri qrafik vasitəsilə həll etmək əlverişlidir. Bu məqsədlə aşağıdakı kimi sadə üsuldan istifadə edilir. Belə ki, ξ =
rə ə q ξ tg ξ = η
ələrinə ə i, (
( ) 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
m ⎤ ⎡ h h h l mu E u E l k l = ⎥⎦ ⎢⎣ − + = + = + χ η ξ (89.17) (89.17) isə radiusu 2 0 2 2
u m h əyrisi ilə olan çevrənin tənliyidir. Qeyd edək ki, hissəciyin enerji səviyyələri η =
tg ξ
bu çevrənin kəsişmə nöqtələrinə əsasən tapılır. 89.2 şəklində u 0
2
m m m l u 2 12 , 2 4 , 2 2 2 2 2 h h h = . İlk iki qiymətə I rübdə ( ξ və
η yalnız müsbət işarəli qiymətlər cü qiymətə isə iki dənə kəsişmə nöqtəsi uyğun gəlir. (89.15) işarələmələrindən istifadə edərək II oblastda tək həllər üçün (89.13 0 ala bilər!) bir dənə, üçün ) tənliyini kimi yazmaq olar. Enerjinin bu şərtə mətlə i alm üçün liyini - ξ ctg ξ = η
(89.18) uyğun qiy rin
aq (89.18) tən çevrənin (89.17) tənliyi ilə birgə qrafik yolla həll etmək lazımdır. Bu məqsədlə 89.3 şəklindəki kimi aparılmış qurma göstərir ki, m l u 2 2 2 h = üçün kəsişmə nöqtəsi yoxdur, digər iki çevrənin hər biri üçün isə bir dənə k nöqtəsi vardır. Beləliklə, yekun nəticə olaraq tapırıq ki, u 0 əsişmə
) malik olan potensial çuxurda hiss
0 l 2 kəmiyyətinin yuxarıda göstərilən üç ardıcıl qiyməti üçün, uyğun olaraq, bir, iki və üç enerji səviyyəsi mövcuddur. Ё87-də sonsuz dərin, yəni ideal bərk divarlara (u 0 =
əciyin hərəkəti məsələsinə baxılmış və müəyyən edilmişdir ki, belə hissəcik 2 2 2 2 h π 2
ml E n ⋅ =
(87.14) düsturu ilə ifadə olunan sonsuz sayda enerji səviyyələrinə malikdir. Ona görə də bu paraqrafda alınan nəticələrin doğru olduğunu sübut etmək məqsədilə göstərək ki, u 0 =
limit halında (89.12) və (89.13) düsturları (87.14) şəklinə düşür. (89.12), (89.3) və (89.4) düsturlarına əsasən E E u k tgkl − = = 0 χ
(89.19) alınır. u 0 = ∞ olduqda (89.19)-un sağ tərəfi ∞ olur. Bu isə o deməkdir ki, limitdə 2 π ⋅ = n kl
(89.20)
564 olmalıdır və özü də burada n–tək ədəddir. k üçün (89.3) ifadəsini (89.20)-də nəzərə alsaq Download 18.1 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|