Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

Шякил 

 

595

maraqlıdır. Fərz edək ki, kiçik rəqslər edən rəqqas vardır və bu rəqqasın kürəciyinin 

vəziyyətlərini kinolentinə  çəkək. Heç şübhə yoxdur ki, kadrların  əksəriyyətində biz 

hissəciyin kənar vəziyyətlərdən birinin yaxınlığında yerləşdiyini görəcəyik, çünki məhz 

bu yerlərdə kürəciyin sürəti sıfra yaxındır. Lakin kadrların çox az bir hissəsində kürəciyin 

tarazlıq vəziyyətinin yaxınlığında yerləşdiyi müşahidə olunur, çünki bu nöqtələrdə 

kürəciyin sürəti  ən böyükdür. Buradan aydın olur ki, harmonik rəqs edən kürəciyin 

müəyyən yerdə olması ehtimalı bu yerdə onun sürəti ilə, yəni kinetik enerjisinin kvadrat 

kökü ilə  tərs mütənasibdir (

u

E

−

=

1

1

~

υ

, burada E–tam enerji, u–potensial enerjidir). 

Ehtimalın belə paylanmasına uyğun qrafik 93.2,b  şəklində  qırıq xətlə verilmişdir və 

göründüyü kimi, o, kvantmexaniki osilyator üçün olan ehtimal paylanması  əyrisindən 

kəskin şəkildə fərqlənir. 

93.2,b  şəklində kvant mexanikasına görə qurulmuş ehtimal sıxlığı qrafikinin 

osilyatorun klassik trayektoriyasından /baxılan halda (-1,1) parçasından/ kənarda, yəni 

tam enerjinin potensial enerjidən kiçik (E<u) olduğu oblastlarda ehtimal üçün sıfra 

bərabər qiymət vermədiyini belə izah etmək olar: yuxarıda qeyd olunduğu kimi, 

osilyatorun 93.1 şəklində verilmiş potensial əyrisi potensial çuxurdur və bu potensial 

çuxurun divarları  rəqs edən hissəcik üçün potensial çəpər rolunu oynayır. Ona görə  də 

hissəciyin rəqslərinə bu potensial çəpərdən "qayıtmalar" kimi baxmaq olar və burada 

Ё90-da hissəciyin potensial çəpərdən qayıtma və keçmə məsələsinin şərhinə əsaslanaraq 

izahat vermək olar. 

İndi isə harmonik osilyatorun həyəcanlanmış hallarının dalğa funksiyalarını nəzərdən 

keçirək. 93.3 şəklində n kvant ədədinin bəzi qiymətləri üçün bu funksiyaların qrafikləri 

verilmişdir. Əgər dalğa funksiyasının (93.24) və ya (93.25) ifadəsinə zamandan asılı olan 

e

i

ω

t

 vuruğu da daxil etsək, bu qrafiklərdən göründüyü kimi, durğun dalğaya oxşar bir 

mənzərə alınır.  n=0 olduqda (şəkil 93.2,a) qrafikdə iki dənə düyün və ortada bir dənə 

maksimum ("qarın") alınır və özü də düyünlər potensial çuxurun divarlarında deyil, 

Шякил 

 

596 

sonsuzluqda yerləşir;  n=1 olduqda (şəkil 93.3) iki dənə düyün sonsuzluqda, bir dənə 

düyün isə klassik osilyatorun rəqs oblastının (şəkildə üfqi düz xətt) ortasında alınır; n=2 

olduqda sonsuzluqda yerləşən iki dənə düyündən başqa, klassik osilyatorun rəqs 

oblastında yerləşən daha iki dənə də düyün alınır və s. 93.3 şəklində verilmiş qrafiklərə 

baxdıqda dərhal nəzərə çarpır ki, hissəciyin klassik trayektoriyasını göstərən üfqi düz 

xəttin ortasına yaxın yerlərdə düyünlər arasındakı  məsafə, bu düz xəttin ucları 

yaxınlığındakı düyünlər arasındakı  məsafədən kiçikdir. Bu isə o deməkdir ki, u(x)=0 

qiymətinə uyğun gələn tarazlıq vəziyyətinin yaxınlığında de-Broyl dalğasının 

(

)

u

E

m

−

=

2

h

λ

 uzunluğu ən kiçik olmalıdır. 

93.4  şəklində  n=0, 1, 2, 3, 4  qiymətlərində harmonik osilyator üçün 

( )

2

x

n

ψ

 ehtimal 

sıxlığının paylanması qrafikləri və  həm də  qırıq xətlə makroskopik osilyator (rəqqasın 

kürəciyi) üçün uyğun əyrilər göstərilmişdir. Bu şəkillərdən görünür ki, n kvant ədədinin 

kiçik qiymətlərində kvant osilyatorunun özünü aparması klassik osilyatordan tamamilə 

fərqlənir. Əksinə, n-in böyük qiymətlərində ehtimal sıxlığının kvantmexaniki paylanması 

klassik paylanmaya daha çox yaxınlaşır. Bu, 93.5 şəklindən xüsusilə daha aydın görünür. 

Bu  şəkildə  n=10 qiyməti üçün ehtimal sıxlığının paylanması qrafiki verilmişdir.  Əgər 

kvantmexaniki paylanma əyrisinin maksimumlarından səlis xətt keçirsək, bu, klassik 

paylanma  əyrisinə  təqribən paralel olacaqdır.  n kvant ədədinin sonrakı böyük 

qiymətlərində maksimumlar bir-birinə daha çox yaxın yerləşir və kvantmexaniki 

paylanma  əyrisi klassik paylanma qrafikinə daha çox oxşayır ki, bu da uyğunluq 

prinsipinin (Ё58) tələblərinə tam cavab verir. 

Шякил 93.4.

 

597

Bu vaxta qədər biz yalnız birölçülü (xətti) harmonik osilyator üçün Şredinger 

tənliyinin həlli və bu həlldən alınan nəticələrin təhlili ilə məşğul olduq. İndi isə üçölçülü 

harmonik osilyator üçün Şredinger tənliyinin həllinə baxaq. Ümumi halda fərz edək ki, 

qarşılıqlı perpendikulyar olan üç istiqamətdə kvazielastiklik əmsalları müxtəlif olub, k

1

, k

2

 

və k

3

-dür. Onda üçölçülü harmonik osilyatorun potensial enerjisi 

Шякил 93.5.

(

)

2

2

2

,

,

2

3

2

2

2

1

z

k

y

k

x

k

z

y

x

u

+

+

=

   

         (93.42) 

kimi təyin olunduğundan, bu halda 

(

)

(

)

z

y

x

E

z

y

x

H

,

,

,

,

ˆ

ψ

ψ

=

 Şredinger tənliyi 

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

E

z

k

y

k

x

k

z

y

x

m

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

2

2

2

2

2

3

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

h

    (93.43) 

olar. Bu tənliyi dəyişənlərin ayrılması üsulu ilə  həll etmək mümkündür. Bunun üçün 

həmin tənliyin həlli olan 

ψ

(x,y,z) funksiyasını bir-birindən asılı olmayan üç dənə 

ψ

1

(x), 

ψ

2

(y), 

ψ

3

(z) funksiyalarının hasili kimi yazaq: 

ψ

(x,y,z)= 

ψ

1

(x)

ψ

2

(y)

ψ

3

(z). 

 

   (93.44) 

(93.44)-ü (93.43)-də yazdıqdan sonra alınan tənliyin hər iki tərəfini 

ψ

1

ψ

2

ψ

3

 hasilinə 

bölsək 

E

z

k

z

m

y

k

y

m

x

k

x

m

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

∂

∂

−

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

∂

∂

−

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

∂

∂

−

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

3

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

h

h

h

    (93.45) 

 

598 

alınır. Bu bərabərliyin ödənməsi üçün sol tərəfdəki mötərizələrdə bir-birindən asılı 

olmayan ifadələrin hər biri müəyyən sabitə bərabər olmalıdır: 

1

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

E

x

k

dx

d

m

=

+

−

ψ

ψ

h

 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

E

y

k

dy

d

m

=

+

−

ψ

ψ

h

, 

 

      (93.46) 

3

2

3

2

3

2

3

2

2

1

2

E

z

k

dz

d

m

=

+

−

ψ

ψ

h

. 

Burada həm də 

E=E

1

+E

2

+E

3

 

 

 

       (93.47) 

şərti ödənməlidir. Göründüyü kimi, (93.46) tənliklərinin hər biri birölçülü (xətti) 

harmonik osilyator üçün (93.10) Şredinger tənliyi ilə eynidir. Ona görə  də  həmin 

tənliklərin hər birinin həlli (93.25) və (93.26) ifadələrinə oxşar olacaqdır. Beləliklə, 

(93.25) və (93.26) düsturlarını (93.44) və (93.47)-də  nəzərə alaraq üçölçülü harmonik 

osilyator üçün (93.43) Şredinger tənliyinin həllini aşağıdakı kimi yaza bilərik: 

(

)

( ) ( ) ( )

(

)

( ) (

) ( )

,

2

!

!

!

 

 

,

,

3

2

1

2

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

2

3

2

2

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

z

H

y

H

x

H

e

n

n

n

z

y

x

z

y

x

n

n

n

z

y

x

n

n

n

n

n

n

n

n

n

β

β

β

π

π

β

β

β

ψ

ψ

ψ

ψ

β

β

β

⋅

⋅

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

=

+

+

−

+

+

           (93.48) 

(

)

(

)

(

)

.

2

1

2

1

2

1

3

3

2

2

1

1

3

2

1

3

2

1

+

+

+

+

+

+

=

+

+

=

n

n

n

E

E

E

E

n

n

n

n

n

n

ω

ω

ω

h

h

h

                 (93.49) 

(93.48)-də 

β

i

  (i=1, 2, 3)  kəmiyyətləri (93.11)-ə oxşar olaraq, aşağıdakı kimi təyin 

olunurlar: 

)

3

,

2

,

1

( 

,

=

=

=

i

m

mk

i

i

i

h

h

ω

β

.   

       (93.50) 

(93.48) və (93.49) ifadələrindən görünür ki, ən ümumi halda, yəni  k

1

≠k

2

≠k

3

  və ya 

ω

1

≠

ω

2

≠

ω

3

  şərti ödəndikdə üçölçülü harmonik osilyatorun enerji spektri cırlaşmamışdır, 

hər bir E

n1n2n3

 enerji səviyyəsinə bir dənə 

ψ

n1n2n3

 dalğa funksiyası uyğun gəlir. Lakin 

xüsusi halda izotrop osilyator üçün 

ω

1

=

ω

2

=

ω

3

=

ω

 olduğundan enerji üçün (93.49) ifadəsi 

E

n1n2n3

=ħ

ω

(n

1

+n

2

+n

3

+3/2) 

 

    (93.51) 

şəklinə düşür, yəni enerji kvant ədədlərinin  n=n

1

+n

2

+n

3

  cəmindən asılı olur. Bu isə o 

deməkdir ki, enerjinin (yəni,  n-in ) eyni bir qiyməti  n

1

, n

2

, n

3

  ədədlərinin müxtəlif 

kombinasiyalarına (müxtəlif dalğa funksiyalarına) uyğun gələ bilər. Deməli, yalnız  n=0 

(yəni, n

1

=n

2

=n

3

=0) halından başqa, izotrop osilyatorun qalan bütün halları cırlaşmış olur. 

 

599

Bu cırlaşmanın tərtibini tapaq. Bu məqsədlə n-dən başqa n

1

 ədədini də fiksə edək. Onda 

n

1

, n

2

, n

3

 kombinasiyalarının mümkün olan sayı  n

2

-nin mümkün olan qiymətlərinin 

sayına, yəni (n-n

1

+1)-ə  bərabər olacaqdır, çünki n

2

=0, 1, 2, …, (n-n

1

) qiymətlərini ala 

bilər. Beləliklə,  n-n

1

+1 ifadəsini  n

1

-in mümkün olan bütün qiymətləri üzrə  cəmləyərək 

n

1

, n

2

, n

3

 ədədlərinin cəminin n-ə bərabər olduğu bütün kombinasiyalarının sayını, yəni n-

ə uyğun (93.51) enerji səviyyəsinin cırlaşma tərtibini tapırıq. 

(

) (

)(

2

 

1

2

1

1

0

1

1

+

+

=

+

−

=

∑

=

n

n

n

n

f

n

n

n

)

. 

            (93.52) 

93.1 cədvəlində  n=1, 2, 3  qiymətləri üçün izotrop osilyatorun enerji səviyyələrinin 

cırlaşma tərtibinin müəyyən edilməsinə aid misallar göstərilmişdir. Bu cədvəldəki 

nəticələr (93.52) düsturundan da dərhal alınır. 

İndi isə harmonik osilyatorun şüalanması  məsələsini nəzərdən keçirək.  Ё46-da 

göstərdik ki, klassik elektrodinamikaya görə elektromaqnit dalğalarını  şüalandıran 

mənbə, məsələn, təcillə  hərəkət edən elektrik yükü ola bilər və bu şüalanmanın 

intensivliyi yüklü hissəciyin təcilinin kvadratı ilə düz mütənasib olub, (46.15) düsturu ilə 

təyin olunur. Bundan başqa, həmin paraqrafda qeyd olunmuşdur ki, əgər  şüalanma 

mənbəyi birölçülü harmonik osilyatordursa, onda şüalanmanın tezliyi bu osilyatorun 

mexaniki rəqslərinin tezliyi ilə eynidir, şüalanmanın intensivliyi isə  rəqslərin 

amplitudunun kvadratı ilə düz mütənasibdir.  Ё46-dan aydın olur ki, yüklü hissəciyin 

hərəkəti daha mürəkkəb olan x=f(t) qanunu üzrə T=2

π

/

ω

 periodu ilə baş verirsə, onda f(t) 

funksiyasını Furye sırasına ayıraraq 

∑

=

k

k

t

k

a

x

ω

cos

 

 

            (93.53) 

yazmaq və belə hesab etmək olar ki, şüalanma 

ω

k

=k

ω

  (k=1, 2, 3, …)  tezliklərinə malik 

olan osilyatorlar sistemi tərəfindən baş verir. Bu halda həm 

ω

 əsas tonu (k=1), həm də k

ω

 

(k=2, 3, 4, …)  harmonikaları  şüalanacaq və özü də  hər bir harmonikaya uyğun 

şüalanmanın intensivliyi a

k

2

 ilə düz mütənasib olacaqdır. 

Deməli, klassik nəzəriyyəyə görə sistemin şüalanması tamamilə onun mexaniki 

xassələri ilə müəyyən olunur. Belə ki, şüalanmanın tezliyi ya sistemin mexaniki 

rəqslərinin tezliyinə, ya da ki, bu tezliyin tam misllərinə  bərabər, hər bir harmonikaya 

uyğun gələn  şüalanmanın intensivliyi isə uyğun rəqs amplitudunun kvadratı ilə düz 

mütənasib olur. 

Kvant mexanikasına görə isə  şüalanma haqqında məsələyə bir qədər başqa cür 

yanaşmaq lazım gəlir. Çünki kvant nəzəriyyəsinə görə şüalanma hissəciyin və ya sistemin 

böyük enerjili kvant halından kiçik enerjili kvant halına, yəni deyildiyi kimi, "yuxarı 

səviyyədən aşağı səviyyəyə" keçməsi nəticəsində baş verir. 

Şüalanma problemini kvant nəzəriyyəsi baxımından ilk dəfə 1917-ci ildə Eynşteyn 

öyrənmiş və o, sonralar Eynşteyn əmsalları adlanan A və B əmsallarını daxil etmişdir. Bu 

əmsallar sistemin bir enerji səviyyəsindən digərinə spontan (özbaşına) və məcburi (xarici 

elektromaqnit sahəsinin təsiri altında) keçidlərini xarakterizə edir (Ё9).  A

nn'

,  B

nn'

  və  B

n'n

 

Eynşteyn  əmsalları  şüalanmanın kvant nəzəriyyəsində kvant elektrodinamikası 

təsəvvürlərinə  əsasən tapılır və onlardan istifadə edilərək tarazlıqda olan şüalanmanın 

spektral sıxlığı üçün məşhur (8.14) Plank düsturu alınır. 

 

 

600 

Cədvəl 93.1 

 

n 

n

1

n

1

n

2

n

3

f

n

N 

n

1

n

1

n

2

n

3

f

n

0 001 

010 

1 

1 100 

 

3 

0 004 

013 

022 

031 

040 

0 002 

011 

020 

1 101 

110 

1 103 

112 

121 

130 

2 

2 200 

 

 

 

6 

2 202 

211 

220 

0 003 

012 

021 

030 

3 301 

310 

1 102 

111 

120 

2 201 

210 

3 

3 300 

 

 

 

 

 

10 

4 

4 400 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15 

 

Şüalanmanın kvant nəzəriyyəsinin ümumi prinsiplərini qısa  şəkildə  aşağıdakı kimi 

ifadə etmək olar. Şredinger nəzəriyyəsi çərçivəsində yalnız məcburi keçidləri, yəni 

atomun elektronlarının xarici elektromaqnit sahəsi ilə qarşılıqlı  təsiri nəticəsində baş 

verən keçidləri izah etmək olur. Həyəcanlaşmış enerji hallarından daha aşağı hallara 

spontan keçidlər isə bu nəzəriyyə ilə izah oluna bilmir; çünki belə keçidlərin baş 

verməsinə  səbəb olan xarici təsir yoxdur. Bu məsələnin həlli yalnız  şüalanmanın kvant 

nəzəriyyəsi yaradıldıqdan sonra, elektromaqnit sahəsinin kvantlanması (ikinci 

kvantlanma) anlayışından istifadə etməklə tapılmışdır. Burada elektronlar və  şüalanma 

sahəsi bir-birilə qarşılıqlı  təsirdə olan iki kvant sistemi kimi götürülür və özü də bu 

qarşılıqlı təsir hətta real fotonlar olmadıqda belə itmir. Verilmiş anda mövcud olmayan, 

lakin yarana biləcək fotonlara virtual fotonlar deyilir. Virtual fotonlar elektromaqnit 

vakuumunu təşkil edirlər. 

Elektronların virtual fotonlar sahəsi ilə qarşılıqlı  təsirinin klassik analoqu olaraq 

hərəkət edən elektrona Plankın tapdığı  şüa sürtünmə qüvvəsinin (

3

3

3

2

3

2

dt

x

d

c

e

F

Plank

=

) 

təsirini göstərmək olar. Bu qüvvə elektronun özünün yaratdığı elektromaqnit sahəsi 

tərəfindən yaranır. Məhz bu sahə elektrondan şüalanma kimi ayrıla bilər.  İkinci 

kvantlanma dilində bu, fotonların virtual haldan real hala keçməsi deməkdir. 

Şüalanmanın kvant nəzəriyyəsinə  əsasən spontan keçidləri xarakterizə edən  A

nn'

 

Eynşteyn əmsalı üçün 

 

601

2

'

3

3

2

'

3

4

n

n

nn

r

c

e

A

r

h

ω

=

 

 

            (93.54) 

ifadəsi alınır. Bundan başqa B

nn'

 və B

n'n

 Eynşteyn əmsallarını A

nn'

 ilə ifadə etməyə imkan 

verən (9.13) düsturu da ümumi şəkildə tapılır. Ona görə də (93.54) və (9.13) düsturlarına 

əsasən həm spontan, həm də məcburi keçidlərin ehtimalını hesablamaq mümkündür. 

(93.54)-də 

 kəmiyyəti hissəciyin 

n

n

r

'

r

rr  radius vektorunun n

→n' keçidinin baş verdiyi 

halları təsvir edən 

ψ

n'

 və 

ψ

n

 dalğa funksiyaları vasitəsilə hesablanmış matris elementidir: 

∫

∗

=

dV

r

r

n

n

n

n

ψ

ψ

r

r

'

'

. 

 

         (93.55) 

Aydındır ki, radius-vektorun 

n

n

r

'

r

 matris elementinin modulunun kvadratını  x,y,z dekart 

koordinatlarının uyğun matris elementləri ilə aşağıdakı kimi ifadə etmək olar: 

2

'

2

'

2

'

2

'

n

n

n

n

n

n

n

n

z

y

x

r

+

+

=

r

. 

               (93.56) 

Beləliklə, kvant sistemində baş verən şüalanma keçidlərinin ehtimalı radius-vektorun 

matris elementləri ilə  təyin olunur. Əgər radius-vektorun matris elementi sıfra 

bərabərdirsə, onda deyirlər ki, buna uyğun keçid qadağandır. Radius-vektorun matris 

elementinin sıfırdan fərqli olduğu keçidlər qadağan olunmamış (mümkün olan, yol 

verilən) keçidlər adlanır. Qadağan olunmamış keçidləri müəyyən edən qaydalar isə seçmə 

qaydaları adlanır. 

Şüalanmanın kvant nəzəriyyəsinin  əsas ideyaları  aşağıdakından ibarətdir. Fərz edək 

ki, hər hansı bir atom sistemində elektronlardan biri E

n

 enerjisinə malik olan 

həyəcanlanmış  n  səviyyəsində yerləşir. Onda bu elektronun daha kiçik 

 enerjisinə 

malik olan n' səviyyəsinə vahid zaman müddəti  ərzində spontan keçidinin ehtimalı  A

'

n

E

nn'

 

olar. Bu zaman ħ

ω

=E

n

-E

n'

 enerjili foton buraxılır. Əgər belə həyəcanlanmış atomların sayı 

N

n

 olarsa, onda spontan keçidlər nəticəsində vahid zamanda şüalanan enerji, yəni spontan 

şüalanmanın intensivliyi 

W

sp

=N

n

A

nn'

⋅ħ

ω

   

 

          (93.57) 

olar.  Əgər atomlara həm də xarici elektromaqnit şüalanması  təsir etsə, onda bu 

şüalanmanın təsiri altında həm yuxarı səviyyələrdən aşağı səviyyələrə (buraxma), həm də 

əksinə, aşağı səviyyələrdən yuxarı səviyyələrə (udulma) məcburi keçidlər baş verəcəkdir. 

Beləliklə, (93.54)-ü (93.57)-də nəzərə alsaq, bir dənə osilyator (N

n

=1) üçün spontan 

şüalanmanın intensivliyini təyin edən aşağıdakı düsturu yaza bilərik: 

2

'

3

4

2

.

'

3

4

n

n

sp

nn

r

c

e

W

r

ω

=

. 

 

           (93.58) 

Əgər 

 dipol momenti və buna uyğun olaraq da dipol momentinin matris elementi 

r

e

d

r

r

=

n

n

n

n

r

e

d

'

'

r

r

=

 

 

                (93.59) 

anlayışını daxil etsək, (93.54) və (93.58) ifadələrini 

2

'

3

3

'

3

4

n

n

nn

d

c

A

r

h

ω

=

, 

 

          (93.60) 

 

602 

2

'

3

4

.

'

3

4

n

n

sp

nn

d

c

W

r

ω

=

 

 

        (93.61) 

kimi yaza bilərik. Ona görə  də (93.54) və (93.58) düsturları ilə xarakterizə olunan 

şüalanmanı çox zaman dipol şüalanması adlandırırlar. 

Yuxarıda şərh olunanlara əsaslanaraq, harmonik osilyator üçün spontan şüalanma ilə 

əlaqədar olan bəzi məsələləri nəzərdən keçirək. Kvant mexanikasının üçüncü postulatına 

görə  (Ё75) fiziki kəmiyyətlərin müşahidə olunan qiymətləri, bu kəmiyyətlərin yalnız 

baxılan halı  təsvir edən dalğa funksiyası  və uyğun operator vasitəsilə hesablanmış orta 

qiymətləridir. Dalğa funksiyasının özü isə köməkçi rol oynayır. Harmonik osilyatorun 

kvant nəzəriyyəsində mühüm rol oynayan 

x   və 

2

x   kəmiyyətlərinin hesablanması 

yuxarıda göstərilmişdir. Lakin (93.54) və (93.58) ifadələrindən görünür ki, harmonik 

osilyatorun dipol şüalanmasını tədqiq etmək üçün  

∫

+∞

∞

−

∗

=

dx

x

x

n

n

n

n

ψ

ψ

'

'

 

 

           (93.62) 

matris elementlərini hesablamaq lazımdır. (93.62) inteqralını hesablamaq üçün (93.25) və 

(82.16) ifadələrinə əsasən alınan 

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

+

=

+

−

1

1

2

1

2

1

n

n

n

n

n

x

ψ

ψ

β

ψ

                 (93.63) 

düsturundan istifadə etmək lazımdır. (93.63)-ü (93.62)-də yazdıqdan sonra (93.38) 

ortonormallıq şərtindən istifadə edərək 

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

+

=

+

−

1

,'

1

,'

'

2

1

2

1

n

n

n

n

n

n

n

n

x

δ

δ

β

 

       (93.64) 

alırıq. Buradan görünür ki, yalnız n'=n

±1 olan matris elementləri sıfırdan fərqlidir: 

β

β

2

1

2

,

1

,

1

+

=

=

+

−

n

x

n

x

n

n

n

n

  

                        (93.65) 

Deməli, harmonik osilyator üçün dipol keçidləri yalnız qonşu enerji səviyyələri arasında 

baş verə bilər və harmonik osilyatorun dipol şüalanması üçün seçmə qaydaları 

∆n=n-n'=±1 

 

 

     (93.66) 

kimi olmalıdır. Xüsusi halda spontan keçid n

→n-1 sxemi üzrə mümkündür. (93.26)-nı 

nəzərə almaqla spontan keçidə uyğun olan şüalanma tezliyi üçün 

ω

ω

=

−

=

−

−

h

1

1

,

n

n

n

n

E

E

   

                (93.67) 

alırıq ki, bu da mexaniki rəqslərin tezliyinə bərabərdir. 

(93.58) və (93.65) düsturlarına əsasən şüalanma intensivliyi üçün 

 

603

β

ω

2

3

4

3

4

2

.

1

,

n

c

e

W

sp

n

n

⋅

=

−

 

 

              (93.68) 

və ya (93.11) və (93.5) düsturlarına əsasən 

h

ω

β

m

=

 

 

 

       (93.69) 

olduğundan 

(

0

3

2

2

3

2

2

.

1

,

3

2

3

2

E

E

mc

e

n

mc

e

W

n

sp

n

n

−

=

⋅

=

−

ω

ω

ω

h

)

              (93.70) 

alınır. Burada 

2

0

ω

h

=

E

 olduğu nəzərə alınmışdır.  n kvant ədədinin çox böyük 

qiymətlərində, yəni E

n

>>E

0

 olduqda (93.70) düsturunda E

0

 kəmiyyətini nəzərə almamaq 

olar və onda bu ifadə klassik harmonik osilyatorun şüalanma intensivliyini təyin edən 

(46.24) ilə üst-üstə düşür. Doğrudan da 

2

2

2

ω

ma

E

=

 olduğunu (46.24)-də nəzərə alsaq 

E

mc

e

W

⋅

=

3

2

2

3

2

ω

  

 

           (93.71) 

olar. 

(93.70)-də  ħ

→0 olduqda da bu nəticə alınır. Hər iki halda belə  nəticənin alınması 

uyğunluq prinsipinin (Ё58) ödənməsi deməkdir. Qeyd edək ki, bu nəticə ümumi xarakter 

daşıyır. Kvant ədədlərinin böyük qiymətlərində kvant mexaniki sistemin hərəkəti klassik 

fizikadan məlum olan düsturlarla yaxşı dəqiqliklə təsvir oluna bilər. 

n  səviyyəsindən yuxarı enerji səviyyələrinə keçidlər  n

→n+1 sxemi üzrə baş verən 

məcburi keçidlər olacaqdır və onlar udulma keçidləri adlanır. 

Harmonik osilyatorun şüalanmasını  tədqiq edərkən belə sual meydana çıxır ki, bu 

zaman harmonikalar da şüalanırmı? Məsələ burasındadır ki, klassik harmonik osilyator 

ancaq bir dənə 

ω

 tezlikli şüa buraxır. Borun tezliklər qaydasından və (93.26) düsturundan 

belə görünür ki, kvant osilyatoru 

ω

-nın tam misllərinə  bərabər olan N

ω

 tezlikli şüalar 

buraxmalıdır. Əslində isə bu, belə deyildir. Bu çətin vəziyyətdən çıxmaq məqsədilə Bor 

uyğunluq prinsipindən istifadə edərək harmonik osilyatorun şüalanması üçün 

∆n=±1 

seçmə qaydalarını daxil etdi. O, belə hesab edirdi ki, bu qaydalar ödənməyən keçidlərin 

ehtimalı  sıfra bərabərdir, yəni belə keçidlər qadağan olunmuşdur. Bir qədər  əvvəl 

göstərdik ki, köhnə kvant mexanikasında daxil edilmiş bu seçmə qaydaları heç bir 

uyğunluq prinsipinə müraciət etmədən müasir kvant mexanikası  təsəvvürlərinə  əsasən 

hesablama yolu ilə alınır. Yuxarıda göstərilən suala cavab vermək üçün isə kvadrupol 

şüalanmasının intensivliyini hesablamaq lazımdır. 

Şüalanmanın kvant nəzəriyyəsində isbat olunur ki, spontan kvadrupol şüalanmasının 

intensivliyi 

( )

2

'

2

3

6

'

2

.

'

15

n

n

nn

adr

k

nn

x

c

e

W

ω

υ

=

   

            (93.72) 

düsturu ilə hesablanır, yəni (x

2

)

n'n

 matris elementinin kvadratı ilə düz mütənasibdir. Bu 

matris elementi 

 

604 

( )

( )

( )

∫

+∞

∞

−

=

dx

x

x

x

x

n

n

n

n

 

2

'

'

2

ψ

ψ

 

               (93.73) 

kimi təyin olunur. Bu inteqralı hesablamaq məqsədilə (93.25) və (82.16) ifadələrinə 

əsasən 

( ) ( )

(

)

( )

[

( )

( )

(

)

(

)(

)

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

+

−

=

=

⎥⎦

⎤

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

+

+

−

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

=

+

−

+

−

−

−

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

 

1

2

2

1

 

2

1

 

1

2

1

1

4

1

2

1

1

!

2

1

1

!

2

1

1

2

2

n

n

n

n

n

n

x

n

n

x

n

n

n

n

n

n

n

x

H

x

H

n

x

H

n

n

e

n

x

H

x

e

n

x

ψ

ψ

ψ

β

β

β

β

π

β

β

β

β

π

β

β

ψ

β

β

(93.74) 

olduğunu (93.73)-də yazmaq və (93.38) ortonormallıq şərtindən istifadə etmək lazımdır. 

Onda (93.69)-u nəzərə alsaq 

( )

(

)

(

)

(

)(

)

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

+

+

+

+

−

=

+

−

2

,

2

,

'

2

1

2

2

1

2

1

1

2

1

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

m

x

δ

δ

δ

ω

h

  (93.75) 

yaza bilərik. Buradan görünür ki, yalnız aşağıdakı matris elementləri sıfırdan fərqlidir. 

( )

(

)

1

2

,

2

2

−

=

−

n

n

m

x

n

n

ω

h

, 

( )

(

)(

)

1

 

2

2

,

2

2

+

+

=

+

n

n

m

x

n

n

ω

h

,  

         (93.76) 

( )

(

)

2

1

1

2

+

=

n

m

x

nn

ω

h

. 

Deməli, harmonik osilyatorun kvadrupol şüalanması üçün seçmə qaydaları 

∆n=n-n'=0, ±2   

 

          (93.77) 

kimi yazıla bilər. 

Xüsusi halda, spontan kvadrupol şüalanması n

→n-2 keçidi nəticəsində baş verməli və 

bu halda dipol şüalanmasında olduğu kimi 

ω

 tezlikli əsas ton deyil, tezliyi 

ω

ω

2

2

2

,

=

−

=

−

−

h

n

n

n

n

E

E

  

                  (93.78) 

olan birinci harmonika şüalanmalıdır. (93.78) və (93.76)-nı (93.72)-də yazaraq 

(

1

15

16

2

4

2

3

2

.

2

,

−

⋅

=

−

n

n

m

c

e

W

adr

k

n

n

ω

υ

h

)

 

 

       (93.79) 

 

605

alırıq. Burada n>>1 olan hala baxaq və  ħ

ω

n

→E klassik yaxınlaşmadan istifadə etsək, 

klassik fizikaya görə kvadrupol şüalanmasının intensivliyi üçün 

2

2

2

3

2

.

15

16

m

E

c

e

W

adr

k

ω

υ

⋅

=

   

             (93.80) 

ifadəsini yaza bilərik. 

Harmonik osilyatorun dipol və kvadrupol şüalanmaları üçün yuxarıda verilmiş 

düsturları müqayisə edərək görürük ki, dipol keçidləri 

∆n=±1, kvadrupol keçidləri isə 

∆n=0, ±2 olduqda baş verir. Bir qədər əvvəl qeyd etdiyimiz kimi, n kvant ədədi harmonik 

osilyatorun (93.25) dalğa funksiyasının cütlüyünü xarakterizə etdiyindən, deyə bilərik ki, 

dipol keçidləri cüt hallardan tək hallara (n cüt

→n' tək) və əksinə, tək hallardan cüt hallara 

∆n=±1  şərti ödənməklə baş verə bilər. Kvadrupol keçidləri isə yalnız cüt hallardan cüt 

hallara və ya tək hallardan tək hallara 

∆n=0, ±2 şərti ödənməklə baş verə bilər. 

İndi isə harmonik osilyatorun kvadrupol və dipol şüalanmalarının intensivliklərini 

müqayisə edək. (93.89) və (93.71)-ə əsasən tapırıq ki,  

2

2

2

2

2

2

2

2

.

~

5

4

2

5

8

5

8

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

⋅

=

=

λ

ω

ω

υ

a

c

a

mc

a

m

mc

E

W

W

dip

adr

k

.      (93.81) 

Burada 

λ

=2

π

c/

ω

–dalğa uzunluğu, a–rəqslərin amplitududur. 

(93.81) ifadəsindən görünür ki, qeyri-relyativistik halda (E

0

<<m

0

c

2

) kvadrupol 

keçidlərin ehtimalı dipol keçidlərin ehtimalına nisbətən çox kiçikdir. Doğrudan da, atom 

və molekul sistemlərinin  şüalandırdığı elektromaqnit dalğasının uzunluğu 

λ

∼10

-5

 sm 

tərtibində olub, onların ölçülərinə  (a

∼10

-8

 sm) nisbətən çox böyükdür və ona görə  də 

(93.81)-ə  əsasən kvadrupol keçidin ehtimalı dipol keçidin ehtimalına nisbətən təqribən 

10

7

  dəfə kiçik olur. Ona görə  də optik oblastda dipol keçidləri qadağan olunmayan 

keçidlər adlanır. Kvadrupol və maqnit şüalanması verən keçidlər isə, çox kiçik ehtimala 

malik olduqları üçün, optik oblastda adətən qadağan olunmuş keçidlər hesab olunurlar. 

Bu keçidlərin nəzərə alınması ona görə vacibdir ki, dipol keçidlərinin qadağan olduğu 

hallarda çox zəif xətlərin alınması məhz kvadrupol keçidləri ilə əlaqədar olur. Qeyd edək 

ki, harmonik osilyator üçün maqnit keçidləri baş vermir. Çünki, yüklü hissəciyin düzxətli 

hərəkəti zamanı mexaniki moment və onunla birlikdə  həm də maqnit momenti sıfra 

bərabər olur. 

Beləliklə, kvant osilyatorunun şüalanması zamanı  əsas ton (dipol şüalanması) ilə 

yanaşı harmonikalar da şüalana bilər, lakin onlara uyğun keçidlərin ehtimalı çox kiçik 

olduğu üçün bu keçidlər qadağan olunmuş hesab edilir.