Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

 

Ё97. Бир-бири иля гаршылыглы тясирдя олан ики щиссяъикдян 

ибарят систем цчцн Шрединэер тянлийи 

 

Яввялки параграфларда биз йалныз бир щиссяъийин верилмиш мцяййян хариъи 

сащядя  (гцввя  сащясиндя)  щярякяти  цчцн  Шрединэер  тянлийинин  щяллини 

нязярдян кечирмишик. Лакин бир-бири иля гаршылыглы тясирдя олан систем даща 

реал  щалдыр.  Мялумдур  ки,  классик  механикада  беля  системин  щярякяти  ики 

щярякятя айрылыр: 1) системин бцтювлцкдя сярбяст (хариъи гцввя тясир етмядян) 

щярякяти вя йа кцтля мяркязинин щярякяти; 2) бир щиссяъийин диэяр щиссяъийя 

 

628 

нисбятян  онлар  арасындакы  гаршылыглы  тясир  гцввясинин  тясири  алтында 

щярякяти  вя  йа  нисби  щярякят.  Юзц  дя  икинъи  щярякятя,  формал  олараг, 

щиссяъиклярдян биринин щягиги кцтлясини эятирилмиш кцтля 

2

1

2

1

m

m

m

m

m

+

=

   

 

            (97.1) 

иля  явяз  етмякля,  бу  щиссяъийин  щярякяти  кими  бахылыр.  Бурада  m

1

  вя  m

2

 – 

биринъи  вя  икинъи  щиссяъийин  кцтлясидир.  Бу  мясяля  Ё57-дя  ятрафлы  шярщ 

едилмишдир.  Стасионар  щаллара  бахаркян  квант  механикасында  да  ейниля  бу 

гайдадан истифадя едилир. 

Ё71-я  уйьун  олараг  бир-бири  иля  гаршылыглы  тясирдя  олан  ики  щиссяъийин 

стасионар щаллары цчцн Шрединэер тянлийини ашаьыдакы кими йазмаг олар: 

(

)

ψ

ψ

E

r

r

u

m

m

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

∇

−

∇

−

 

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

1

2

r

r

h

h

            (97.2) 

Бурада 

  вя 

(

)

1

1

1

1

,

,

z

y

x

rr

(

)

2

2

2

2

,

,

z

y

x

rr

,  уйьун  олараг,  биринъи  вя  икинъи  щиссяъийин 

координатларыны эюстярир вя 

2

1

2

2

1

2

2

1

2

2

1

z

y

x

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

, 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

z

y

x

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

∇

             (97.3) 

ишаря  едилмишдир.  Щиссяъикляр  арасындакы  гаршылыглы  тясирин 

 

потенсиал  енержи  функсийасы  ися  биринъи  вя  икинъи  щиссяъийин 

координатларынын  йалныз  фяргиндян  асылыдыр.  Мяркязи  сащядя  ися  потенсиал 

енержи  функсийасы  йалныз  бу  щиссяъикляр  арасындакы 

(

)

2

1

r

r

u

r

r −

2

1

r

r

r

r

r −

=

мясафясиндян 

асылы  олур. (97.2)-дя 

ψ

  функсийасы  ися 6 координатдан  асылыдыр: 

ψ

(x

1

,y

1

,z

1

;x

2

,y

2

,z

2

). 

(97.2) тянлийиндя ашаьыдакы гайда цзря йени дяйишянляря кечяк: 

1.

 

системин кцтля мяркязинин координатлары 

(

)

2

1

2

2

1

1

,

,

m

m

r

m

r

m

Z

Y

X

R

+

+

=

r

r

r

; 

                     (97.4) 

2.

 

биринъи щиссяъийин икинъи щяссяъийя нисбятян координатлары 

(

) (

) (

)

2

2

2

2

1

1

1

1

,

,

,

,

,

,

z

y

x

r

z

y

x

r

z

y

x

r

r

r

r

−

=

. 

                (97.5) 

(97.4) вя (97.5) тянликлярини бирэя щялл едяряк 

r

m

m

m

R

r

r

r

r

2

1

2

1

+

+

=

, 

r

m

m

m

R

r

r

r

r

2

1

1

2

+

−

=

                   (97.6) 

алырыг. (97.4)-(97.6) ифадяляриня ясасян ашаьыдакылары йазмаг олар: 

2

1

2

2

1

1

m

m

x

m

x

m

X

+

+

=

, 

2

1

2

2

1

1

m

m

y

m

y

m

Y

+

+

=

, 

2

1

2

2

1

1

m

m

z

m

z

m

Z

+

+

=

; 

х

=х

1

-х

2

, y=y

1

-y

2

, z=z

1

-z

2

;  

                   (97.8) 

 

629

x

m

m

m

X

x

2

1

2

1

+

+

=

, 

y

m

m

m

Y

y

2

1

2

1

+

+

=

, 

z

m

m

m

Z

z

2

1

2

1

+

+

=

; 

x

m

m

m

X

x

2

1

1

2

+

−

=

, 

y

m

m

m

Y

y

2

1

1

2

+

−

=

, 

z

m

m

m

Z

z

2

1

1

2

+

−

=

. 

(97.8) ифадяляриндян ися эюрцнцр ки, 

x

X

m

m

m

x

x

x

x

X

X

x

∂

∂

+

∂

∂

+

=

∂

∂

∂

∂

+

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

2

1

1

1

1

1

, 

.

2

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

1

2

x

x

X

m

m

m

X

m

m

m

x

X

m

m

m

x

X

m

m

m

x

∂

∂

+

∂

∂

∂

+

+

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

=

∂

∂

 

Бунун кими дя 

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

x

x

X

m

m

m

X

m

m

m

x

∂

∂

+

∂

∂

∂

+

−

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

∂

∂

 

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

y

y

Y

m

m

m

Y

m

m

m

y

∂

∂

+

∂

∂

∂

+

+

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

∂

∂

 

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

y

y

Y

m

m

m

Y

m

m

m

y

∂

∂

+

∂

∂

∂

+

−

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

∂

∂

 

2

2

2

2

1

1

2

2

2

2

1

1

2

1

2

2

z

z

Z

m

m

m

Z

m

m

m

z

∂

∂

+

∂

∂

∂

+

+

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

∂

∂

, 

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

z

z

Z

m

m

m

Z

m

m

m

z

∂

∂

+

∂

∂

∂

+

−

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

=

∂

∂

 

йазмаг  олар.  Бу  ифадяляри  уйьун  сурятдя  m

1

  вя  m

2

-йя  бюляряк  тяряф-тяряфя 

топласаг 

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

∂

∂

+

+

+

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

∂

∂

+

+

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

∂

∂

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

∂

∂

+

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

z

m

m

Z

m

m

y

m

m

Y

m

m

x

m

m

X

m

m

z

m

z

m

y

m

y

m

x

m

x

m

 

 

630 

вя йа 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

=

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

z

y

x

m

m

m

m

Z

Y

X

m

m

z

y

x

m

z

y

x

m

 

алыныр. Сонунъу ифадяни 

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

∇

+

∇

=

∇

+

∇

m

M

m

m

R

   

              (97.9) 

кими йазараг, (97.2)-дя нязяря алсаг 

(

)

( )

(

r

R

E

r

R

r

r

u

m

M

R

r

r

r

r

r

r

h

h

,

,

 

2

2

2

1

2

2

2

2

ψ

ψ

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+

∇

−

∇

−

)

          (97.10) 

олар. Бурада M=m

1

+m

2

, 

2

1

2

1

m

m

m

m

m

+

=

 ишаря едилмишдир. 

 вя 

-уйьун олараг, 

X,Y,Z вя x,y,z дяйишянляриндя Лаплас операторудур. (97.10)-да 

ψ

 функсийасы йени 

X,Y,Z вя x,y,z дяйишянляриндян асылыдыр. 

2

R

∇

2

∇

Беляликля, (97.4) вя (97.5) йени дяйишянляриня кечдикдя (97.2) тянлийинин сол 

тяряфиндя 

ψ

 функсийасына тясир едян оператор, (97.10)-дан эюрцндцйц кими, бир-

бириндян асылы олмайан ики щяддин ъями кими эюстяриля билир: бу щядлярдян 

бири  йалныз 

(

Z

Y

X

R

,

,

)

r

  координатларындан,  диэяри  ися  йалныз 

(

)

2

1

,

,

r

r

z

y

x

r

r

r

r

−

=

 

нисби  координатлардан  асылыдыр.  Она  эюря  дя (97.10) тянлийиндя  дяйишянляри 

айырмаг  мцмкцндцр.  Бу  мягсядля (97.10) тянлийинин  щялли  олан 

( )

r

R r

r

,

ψ

 

функсийасыны бир-бириндян асылы олмайан ики дяня функсийанын щасили кими 

эюстяряк: 

( ) ( )

( )

r

R

r

R

r

r

r

r

2

1

 

,

ψ

ψ

ψ

=

.   

                (97.11) 

(97.11)-и (97.10)-да йазаг вя алынан тянлийи 

( )

( )

r

R

r

r

2

1

 

ψ

ψ

 щасилиня бюляк. Онда 

( )

E

r

u

m

M

R

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

∇

−

+

∇

−

r

h

h

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

ψ

ψ

ψ

ψ

 

       (97.12) 

бярабярлийи  алыныр.  Бурада  сол  тяряфдя  бир-бириндян  асылы  олмайан  ики 

щяддин  ъями  саь  тяряфдя  мцяййян  Е  сабитиня  бярабярдир.  Бу  шяртин  юдянмяси 

цчцн сол тяряфдяки щядлярин дя щяр бири сабит олмалыдыр, йяни 

R

R

E

M

=

∇

−

1

2

1

2

1

2

ψ

ψ

h

, 

( )

r

E

r

u

m

=

+

∇

−

r

h

2

2

2

2

1

2

ψ

ψ

 

вя йа 

 

631

( )

( )

R

E

R

M

R

R

r

r

h

1

1

2

2

2

ψ

ψ

=

∇

−

, 

 

      (97.13) 

( ) ( )

( )

r

E

r

r

u

m

r

r

r

r

h

2

2

2

2

 

2

ψ

ψ

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

∇

−

. 

            (97.14) 

Бурада E

R

 вя E

r

 сабитляри 

Е=E

R

+E

r

 

 

 

        (97.15) 

шяртини юдямялидир. 

Беляликля, (97.10) тянлийи  бир-бириндян  асылы  олмайан (97.13) вя (97.14) 

кими ики тянлийя парчаланыр. (97.13) тянлийи, кцтляси еля бил ки, M=m

1

+m

2

 олан 

щиссяъийин, йяни кцтля мяркязинин сярбяст щярякятини (Ё85) тясвир едир. Диэяр 

(97.14) тянлийи ися биринъи щиссяъийин икинъи щиссяъийя нисбятян щярякятини 

тясвир едир вя бу тянликдя щиссяъийин щягиги кцтляси 

2

1

2

1

m

m

m

m

m

+

=

 эятирилмиш 

кцтля  иля  явяз  едилмишдир.  Беля  дя  демяк  олар  ки, (97.14) тянлийи  биринъи 

щиссяъийин системин кцтля мяркязиня нязярян щярякятини тясвир едир. 

Бурада беля бир ъящятя фикир вермяк лазымдыр ки, 

( )

( )

R

r

r

r

1

2

 

ψ

ψ

 щасилиндя  R

r

–

дяйишян, 

  ися  параметр,  йяни  яслиндя  сабит  кими  эютцрцлся,  онда (97.11) 

функсийасы да 

rr

( )

R

r

1

ψ

 функсийасы кими кцтля мяркязинин щярякятини тясвир едяр. 

Буна  охшар  олараг  да  rr -и  дяйишян,  R

r

-и  ися  параметр  кими  эютцрсяк, (97.11) 

функсийасы 

( )

rr

2

ψ

  кими  биринъи  щиссяъийин  нисби  щярякятини  тясвир  етмиш 

олар.  Демяли, (97.10) тянлийинин  цмуми  щялли  олан 

( )

r

R r

r

,

ψ

  функсийасы  бир-

бириндян  асылы  олмайан  ики  щярякяти – кцтля  мяркязинин  щярякятини  вя 

щиссяъиклярдян биринин диэяриня нисбятян щярякятини тясвир едир вя мцхтялиф 

дяйишянлярдян асылы олан ики дяня функсийанын (97.11) щасили кими эюстяриля 

биляр. Бу заман классик механикада олдуьу кими, там енержи кцтля мяркязинин вя 

щиссяъиклярин бир-бириня нисбятян щярякяти  иля ялагядар олан ики  енержинин 

(97.15) ъяминя бярабяр олур. 

Яэяр  кцтля  мяркязинин  щярякятини  нязяря  алмасаг,  йяни  ону  тярпянмяз 

(сцкунятдя) щесаб етсяк, (97.13) тянлийи арадан чыхыр вя йалныз щиссяъиклярин 

нисби щярякяти цчцн (97.14) тянлийи галыр. Она эюря дя щямин тянлийи садяъя 

олараг 

( )

ψ

ψ

ψ

E

r

u

m

=

+

∇

−

 

2

2

2

r

h

 

 

       (97.16) 

кими йазырлар. 

Бу  параграфда  алынан  нятиъялярдян,  хцсуси  щалда,  щидроэенябянзяр 

атомларда нцвянин щярякятини нязяря алмаг цчцн истифадя едиляъякдир (Ё98).