Determinantlar va ularning xossalari determinantlar va ularni hisoblash

(6)

tengliklar o‘rinli bo‘lishi isbotlanadi
5-TA’RIF. Yuqoridagi (5) va (6) tengliklar determinantning satrlar bo‘yicha yoyilmasi deb ataladi.
Shunga o‘xshash determinantning ustunlar bo‘yicha yoyilmasini ham quyidagicha yozish mumkin:
(7)
Masalan, yuqorida keltirilgan (3) determinant qiymatini uning II satrining (4) algebraik to‘ldiruvchilari yordamida hisoblaymiz:

Laplas teoremasidan foydalanib yuqori tartibli determinantlarni hisoblash mumkin. Bunda n-tartibli determinantni hisoblash n ta (n–1) - tartibli determinantni (A_ijalgebraik to‘ldiruvchilarni) hisoblash va uning ixtiyoriy satr yoki ustuni bo‘yicha yoyilmasidan foydalanishga keltiriladi. Jumladan, I tartibli determinant qiymati |A|=|a₁₁|=a₁₁ ekanligidan foydalanib, (1) va (2) formulalarni keltirib chiqarish mumkin. Determinant qiymatini Laplas teoremasi yordamida hisoblash uchun uning ixtiyoriy satr yoki ustun bo‘yicha yoyilmasidan foydalanish mumkin.Ammo, amaliy nuqtai nazardan, ko‘proq elementlari nolga teng bo‘lgan satr yoki ustunni tanlash (agar shundaylar mavjud bo‘lsa) maqsadga muvofiqdir. Bu holda nolga teng elementlarning algebraik to‘ldiruvchilarini topishga hojat bo‘lmaydi va hisoblashlar hajmi ancha kamayadi.
Misol. Ushbu IV tartibli determinantni hisoblang:

Yechish: Bu determinantni II ustun bo‘yicha yoyilmasidan foydalanib hisoblash qulaydir. Bunga sabab shuki, bu ustunda nol elementlar boshqa satr va ustunlarga qaraganda ko‘proq hamda a₂₂=0, a₄₂=0 elementlarning A₂₂ , A₄₂ algebraik to‘ldiruvchilarini hisoblash shart emas.
Dastlab A₁₂ va A₃₂ algebraik to‘ldiruvchilarni hisoblab, A₁₂ =–389 va A₃₂=45 ekanligini aniqlaymiz. Endi determinant qiymatini II ustunga Laplas teoremasini tatbiq etib hisoblaymiz: