Determinantlar va ularning xossalari determinantlar va ularni hisoblash

3-xossa. Agar determinantda ikkita satr elеmеntlari bir xil bo‘lsa, uning qiymati nolga tеng bo‘ladi.
Isbot: Berilgan determinantning qiymatini Δ , uning bir xil elеmеntli satrlarining o‘rinlarini almashtirishdan hosil bo‘lgan determinantning qiymatini esa Δ′ deb belgilaymiz. Unda, 2-xossaga asosan, Δ′= –Δ bo‘ladi. Ammo determinantda bir xil elеmеntli satrlarning o‘rinlari almashtirilganligi uchun uning ko‘rinishi o‘zgarmay qoladi va shu sababli Δ′= Δ bo‘ladi. . Bu tengliklardan Δ = - Δ natijani olamiz va undan Δ=0 ekanligi kelib chiqadi.
Masalan, hozircha biz IV tartibli determinantni hisoblash formulasini bilmasakda, 3-xossaga asosan, birinchi va uchinchi satrlari bir xil bo‘lgan ushbu determinantning qiymatini yozishimiz mumkin:

4-xossa. Determinantda biror satr elementlari umumiy λ ko‘paytuvchiga ega bo‘lsa, uni determinant belgisidan tashqariga chiqarib yozish mumkin.
Masalan,

Isbot: III tartibli determinantni (2) hisoblash formulasidagi yig‘indining har bir qo‘shiluvchisida λ umumiy ko‘paytuvchi qatnashadi. Bu λ umumiy ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarib, 4-xossadagi tasdiqning o‘rinli ekanligiga ishonch hosil etamiz.
5-xossa. Agar determinantda biror satr faqat nollardan iborat bo‘lsa, uning qiymati nolga tang bo‘ladi.
Bu xossaning isboti oldingi xossadan λ=0 bo‘lgan holda kelib chiqadi.
Masalan, quyidagi III tartibli determinantning qiymatini (2) formula bilan hisoblab o‘tirmay, 4-xossaga asosan to‘g‘ridan-to‘g‘ri

deb ta’kidlay olamiz.
6-xossa. Agar determinantning ixtiyoriy ikkita satr elеmеntlari o‘zaro proporsional bo‘lsa, uning qiymati nolga tеng bo‘ladi.
Masalan,

Isbot: 4-xossaga asosan λ proporsionallik koeffitsiyentini determinant belgisi oldiga umumiy ko‘paytuvchi sifatida chiqarish mumkin. Bu holda ikkita satri bir xil bo‘lgan determinant hosil bo‘ladi va uning qiymati, 3-xossaga asosan, nolga teng. Bundan berilgan determinantning ham qiymati nol ekanligi kelib chiqadi.
Masalan,
_,
chunki bu determinantda I va III satrlar proporsional va proporsionallik koeffitsiyenti λ=1.5 ga teng.
7-xossa. Agar determinantning biror i-satri ikkita qo‘shiluvchi yig‘indisidan iborat, ya’ni a_ij+ b_ij ko‘rinishda bo‘lsa, bu determinantni ikkita determinantlar yig‘indisi ko‘rinishida yozish mumkin. Bunda bu determinantlarning i-satri mos ravishda a_ij va b_ij elementlardan iborat bo‘lib, qolgan satrlari berilgan determinantniki singari bo‘ladi.
Masalan,
.
Bu xossaning o‘rinli ekanligiga bevosita (2) formula orqali ishonch hosil qilish mumkin.
8-xossa. Agar |A| determinantning a_ii diagonal elementlaridan yuqorida yoki pastda joylashgan barcha elementlari nolga teng bo‘lsa, uning qiymati diagonal elementlar ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.
Masalan,
.
Isbot: Bu determinantlar uchun ularni (2) hisoblash formulasidagi a₁₁a₂₂a₃₃qo‘shiluvchidan boshqa hamma qo‘shiluvchilari nolga teng bo‘ladi va shuning uchun ularning yig‘indisi, ya’ni determinantning qiymati shu ko‘paytmaga teng bo‘ladi.
Masalan, ushbu IV tartibli determinantni hisoblaymiz:
.
9-xossa. Diagonal matritsaning determinanti uning diagonal elementlari ko‘paytmasiga teng bo‘ladi.
Bu xossa isboti bevosita oldingi xossadan kelib chiqadi. Jumladan har qanday birlik matritsaning determinanti birga tengdir.
Navbatdagi xossani ifodalash uchun ikkita yangi tushuncha kiritamiz.