Determinantlar va ularning xossalari determinantlar va ularni hisoblash

Uchburchaklar usuli. Bu usulda determinantning elementlari sxematik ko‘rinishda nuqtalar singari ifodalanadi (7-rasmga qarang).So‘ngra asoslari determinantning diagonallariga parallel bo‘lgan uchburchaklar qaraladi. Bu uchburchaklarning uchlarida va diagonallarda joylashgan elementlarning ko‘paytmalari hosil qilinadi. I holda chiziqlar bilan tutashtirilgan elementlarning ko‘paytmalari o‘z ishorasi, II holda esa qarama-qarshi ishora bilan olinadi.

Sarrius usuli. Bu usulda determinantning o‘ng tomoniga uning I va II ustunlari takroran yozilib, 3×5 tartibli matritsa hosil qilinadi. Bu matritsaning elementlari sxematik ko‘rinishda nuqtalar singari ifodalanadi (8-rasmga qarang) va chiziqlar bilan tutashtirilgan elementlarning ko‘paytmasi I holda o‘z ishorasi, II holda esa qarama-qarshi ishora bilan olinadi.




III tartibli determinantni hisoblashga doir misol keltiramiz:

Determinantlar va matritsalar orasida quyidagi o‘xshashlik va farqlar mavjud:
1) matritsa sonlar jadvalini ifodalaydi. Determinant esa sonlar jadvalidan hosil qilinadigan sonli ifoda bo‘lib, uning qiymati sondan iboratdir;
2) matritsa sonlar jadvalini dumaloq qavslar ichiga olish bilan belgilansa, determinant bu jadvalni vertikal chiziqlar orasiga olish bilan belgilanadi;
3) A matritsa va |A| determinantni tashkil etuvchi sonlar ularning elеmеntlari deyiladi;
4) matritsa va determinanant satrlar va ustunlardan iborat;
5) determinantlarda ustun va satrlar soni tеng bo‘lishi kerak, matritsalarda esa bunday bo‘lishi shart emas.

2. 
   Determinantlarning asosiy xossalari.Endi ixtiyoriy tartibli determinantlar uchun o‘rinli bo‘lgan xossalar bilan tanishamiz. Aniqlik va soddalik uchun umumiy holda ifodalangan bu xossalarni uchinchi tartibli determinantlar misolida ko‘rsatamiz va isbotlaymiz.
   

1-xossa. Agar determinantda har bir i-satr (i=1,2,3, ∙∙∙,n) i-ustun bilan almashtirilsa, uning qiymati o‘zgarmaydi.
Masalan,

Bu tenglik bevosita III tartibli determinantni (2) hisoblash formulasidan kelib chiqadi.
Demak determinantning satr va ustunlari tеng kuchlidir, ya’ni satr (ustun) uchun o‘rinli bo‘lgan tasdiq ustun (satr) uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Bundan tashqari bu xossadan matritsani transponirlashda uning determinanti o‘zgarmay qolishi, ya’ni detA=detA^T bo‘lishi kelib chiqadi. Shu sababli determinantning keyingi xossalarini faqat satrlar uchun ifodalaymiz.
2-xossa.Determinantda ixtiyoriy ikkita satrlar o‘rni o‘zaro almashtirilsa, determinantning qiymati faqat ishorasini o‘zgartiradi.
Masalan,
.
Bu tasdiq ham bevosita (2) formuladan kelib chiqadi.