Дискрет анал

Агар А туплам Р(х) мулохазавий форма (шарт) ёрдамида берилган булса, у хлда Р хосса А туплам элементларининг характеристик хоссаси дейилади.

Бундан ташкари,
 агар хА булса, 1,
Р(х)= 
 агар хА булса, 0
эканлигини эътиборга олсак Р(х)ни А тупламнинг характеристик функцияси деб аташ хам табиийдир (бунда «1»- рост, «0» - ёлгон вазифасини утайди ).
1-таъриф. Агар икки туплам бир хил элементлардан тузилган булса, бундай тупламлар тенг деб хисобланади.
2-таъриф. Бирорта хам элементга эга булмаган туплам буш туплам дейилади ва  билан белгиланади.
Буш тупламни ихтиёрий зиддият ёрдамида аниклаш мумкин: масалан, {х|хх.
3-таъриф. Агар А тупламнинг барча элементлари В тупламнинг хам элементлари булса, у холда А туплам В тупламнинг кисми туплами дейилади ва бу АВ куринишда белгиданади.
Бу таърифдан келиб чикадиган баъзи натижаларни куриб чикайлик.
. Хар бир туплам уз-узининг кисм тупламидир: .(« » муносабатининг рефлексивлик хоссаси).
. Агар  ва В  С булса, у холда C дир («» муносабатининг транзитивлик хоссаси).
Юкоридаги таърифларга асосланиб куйидаги теоремани исботлаш осон (исботни укувчига хавола киламиз ).
1-теорема. А ва В тупламлар тенг булиши учун  ва  булиши зарур ва етарлидир.
Бу теоремани баъзан тупламлар тенглигининг таърифи сифатида кулланилади.
Тупламлар устида куйидаги табиий амалларни бажариш мумкин.
4-таъриф.  ва  тупламларнинг кесишмаси деб уларнинг барча умумий элементларидан тузилган С тупламга айтилади ва бу С= куринишда ёзилади.
Тупламлар кесишмасининг куйидаги хоссалари диккатга сазовордир:
 . 
 . C=AC);
3°. A.
Бу хоссаларнинг уринли эканлиги бевосита 1-теоремадан келиб чикади.
5-таъриф. А ва В тупламларнинг бирлашмаси деб уларнинг камида биттасига тегишли булган барча элементлардан тузилган С тупламга айтилади ва бу C=A куринишида ёзилади.
Тупламлар бирлашмасининг куйидаги хоссаларини кайд килиб утамиз:
4A;
5°.C=AC);
6°. A.
6-таъриф. А ва В тупламларнинг айирмаси деб А тупламнинг В тупламга кирмайдиган барча элементлар тупламига айтилади ва А/В билан белгиланади.
Таъриф. АВ булсин. А тупламнинг В тупламгача булган тулдирмаси деб В тупламнинг А тупламга кирмаган барча элементларидан тузилган тупламга айтилади ва бу С_ВА куринишда ёзилади.
Туплам тулдирмасининг куйидаги хоссалари осон исботланади:
11°. С_А А=;
12°. С_А =А;
13°. С_В (С_ВВ) =А;
14°. С_А (А₁ А₂) =С_А А₁ С_А А₂;
15°. С_А (А₁ А₂) = С_А А₁ С_А А₂;

Таъриф. А ва В тупламларнинг ( шу тартибда) декарт купайтмаси деб хА ва уВ булган (х,у) куринишидаги барча тартибланган жуфтликлар тупламига айтилади ва бу АВ={(х,у)| хА,уВ} куринишда ёзилади.

Тупламларнинг декарт купайтмаси тушунчасини ихтиёрий чекли сондаги А₁,А₂,…,А_n (n>2) тупламлар учун хам умумлаштириш мумкин.

3.