Diskret tuzilmalar fanidan

Kongruyensiya. Faktor – algebra 
Agar 
ekvivalentlik munosabati uchun istalgan n
, ixtiyoriy n o’rinli 
simvol 
uchun, 
ixtiyoriy 
majmualar 
uchun
bajariladigan
bajarilishidan kelib 
chiqsa, ekvivalent munosabatga 
algebrada kongruensiya deb ataladi.
Bu barcha amallarni ekvivalentlik munosabati bilan moslanganligini bildiradi.
Masalan, qo’shish amali uchun quyidagicha ifodalanadi: Istalgan 
elementlar
uchun, ixtiyoriy 
a+b element 
sinfga tegishli bo’ladi.
A to’plamning konguensiyasi bo’yicha faktor to’plamini qaraymiz:
bu to’plamda ∑ signaturali algebrani aniqlaymiz. A algebraning konstanti C ga 
elementni mos qo’yamiz, bu element 
to’plamda constant simvol C ga mos keladi. Agar 
,
va

---

f n-o’rinli ∑ dagi simvol bo’lsa, u holda 
to’plamda f funksiyani quyidagi qoida 
bo’yicha aniqlaymiz:
Ixtiyoriy 
elementlar uchun bu ta’rifni korrektligi ya’ni ekvivalentlik sinfidagi 
qaysi element olinganiga bog’liq emasligiga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatdan ham, agar
bo’lsa, u holda bo’ladi, bundan
kongruentlik
xossasiga ko’ra 
ya’ni
bajariladi.
Bunday hosil qilingan
algebraga U algebraning konguensiya
bo’yicha faktor algebrasi deb ataladi.
elementga 
sinfni mos qo’yuvchi 
akslantirish U algebra va 
algebradagi epimorfizm bo’ladi. Bu epimorfizmga tabiiy gomomorfizm deb ataladi.
Agar 
gomomorfizm bo’lsa, u holda Ker
to’plam U 
algebrada kongruensiya bo’ladi, bu to’plamni gomomorfizmning yadrosi deb ataladi.
Algebraning gomomorf obrazi (aksi) gomomorfizm yadrosi bo’yicha faktor algebrasi 
izomorfligi haqidagi teoremani keltiramiz.
Teorema. (gomomorfizm haqidagi teorema) Agar 
epimorfizm va
tabiiy gomomorfizm bo’lsa, u holda 
tenglikni qanoatlantiruvchi
izomorfizm mavjud bo’ladi.
Isboti. 
deb olamiz, bunda 
Agar 
bo’lsa, u holda 
tenglik kelib chiqadi, ya’ni akslantirish korrekt 
aniqlangan. 
tenglikning bajarilishi tushunarli, bundan uning syureksiya ekanligi 
kelib chiqadi. akslantirishning gomomorfizm bo’lishi
to’g’ridan to’g’ri tekshiriladi. Agar 
bo’lsa, u holda
bunda 
Bundan 
ya’ni b=b’ bo’ladi, bu esa akslantirishning o’zaro bir qiymatli ekanligini isbotlaydi. 
Signaturaning funksional ekanligi va 
akslantirishning mavjudligidan ning izomorfizm 
ekanligi kelib chiqadi.Teoremada keltirilgan 
akslantirishlar quyidagi diagrammada 
keltirilgan:
uchun
, bundan
1 - rasm