Двухфазная фильтрация и теория вытеснения нефти водой

dQds = т Ф' (s) / [to (F (s) — F (so)) — mV⁰ (s — s₀)]. (IV.70)
Отсюда с учетом формулы (IV.38) для скорости скачка V
.S
„ _r ^m(^Sc— *<>) f ф' (s) rfs
^ ^ “ J [F (*) - ^F (^so)l (Sc - So) - IF (s_e> - F (s₀)] (s _ S₀),
(IV.71)
где si (so < Si < s_c) и Ci — произвольно выбираемое начало отсчета координат. Если скачок стационарный и выполняется условие (IV.45), то вместо (IV.71) имеем
S
_г „ Л1 ( Ф' (s) ds _{/тт т}
^{Q U _} гг J F (s) - F (So) - F' (V) (s- Sbj' (IV .72)
д
Формула (IV.72) описывает распределение насыщенности в пере­ходной зоне (рис. 43), которая ввиду стационарного распределения в ней насыщенности традиционно называется стабилизированной зоной. Ширина стабилизированной зоны о определяется как расстоя­ние между точками, насыщенности в которых отличаются от пре­дельных s_c и so на некоторую малую величину а⁰, т. е. как
6 = С (So -}- о⁰) — ъ (s_c — о⁰).
В размерных переменных ширина стабилизированной зоны /8 =аЧ/и₀, т. е. обратно пропорциональна скорости фильтрации или скорости скачка.
Знаменатель подынтегрального выражения в (IV.71) порядка A (s — s_c), а в (IV.72) порядка А\ (s — s_c)², числитель же остается

РИС. 43. Распределение насыщен­ности в стабилизированной зоне
S

конечным при s -9- s_c. Поэтому при С -> — со имеем в первом случае s~s_c—-Ci exp (C/B),
С, — С % В In (_Sc — s), (IV.73) а во втором
S ~ S_c -f- C2/C, C = C2I (s — s_c).
(IV.74)
При s so, t. e. C —f— со, зна­
менатель подынтегрального выраже­ния в (IV.71) и (IV.72) имеет порядок s —so. Поэтому, если F (s) и F' (s) конечны при s =sq, то имеем
С — Ci ~ С₃ In (s — s₀). (IV.75)
Если F (so) = 0, то s₀ < s*. Это означает, что вытесняющая фаза при С -> + со находится в несвязном состоянии. Рассмотрим вначале случай so = s*. Тогда, учитывая, что Ф' (s)=— /₂(s)F(s)/' (s) и что при s, близких к s*, F(s)^fi (s)^ (s—s*)^p, где р>1, характер функции С (s) будет зависеть от сходимости интеграла
I (s.) = 1* (s-s^-'j'(s)ds. (IV.76)
S,
Если интеграл (IV.76) сходится, то s обращается в s_t при ко­нечном значении С, если же расходится, то у кривой s(C) имеется горизонтальная асимптота. Как уже отмечалось в § 1 данной главы, капиллярное давление и функция Леверетта J (s) должны быть ко­нечными при «неподвижной» насыщенности s,, поэтому сходится интеграл §J'(s)ds и тем более интеграл (IV.76). Расходимость ин­теграла (IV.76) может быть лишь следствием неудачней аппрокси­мации эмпирических функций отнссительной проницаемости и функ­ции Леверетта. СХ ддимость интеграла (IV.76) при s -» s₄ означает, что равенство s = s_t достигается при конечном значении координаты С = С, и при всех С > С, s остается постоянным и равным s,, т. е. существует выраженный фронт вытеснения.
Если же насыщенность s₀ при С ->■ +со меньше s_t, то для всех s в интервале So < s < s, С = const, т. е. насыщенность от s₀ до s_t меняется скачком. Возникновение скачка в решении задачи о вы­теснении с учетом капиллярных сил связано с допущением, что при насыщенностях, меньших So, еся вытесняющая фаза находится в не­связном состоянии. По-видимому, на самом деле часть этой фазы вблизи фронта становится подвижной и при насыщенностях, мень- ши х, чем s., и вблизи скачка имеется зона, где происходит обмен между связной и несвязной частями вытесняющей фазы.
Как было сказано, протяженность стабилизированной зоны об­ратно пропорциональна а²1ио, т. е. при использовании одной и той же среды и жидкостей обратно пропорциональна скорости вытесне­ния. Экспериментальная проверка этой зависимости проведена В. Н. Мартосом и В. М. Рыжиком. В экспериментах воздух вы­теснялся водой при атмосферном давлении на выходе с постоянной скоростью из горизонтальных труб длиной 170 см, заполненных кварцевым песком с проницаемостью 10 мкм² и пористостью 0,40. Начальная (неподвижная) водонасыщенность равнялась 0,21. Распре­деление водонасыщен нести по длине модели измерялось методом электросопротивления. Скорость вытеснения и₀ менялась в пределах 1,1 • 10^-5 — 2 • 10^-4 м/с. Во всех экспериментах шменение водона­сыщенности со временем в различных точках по длине модели практически повторялось со сдвигом, обратно пропорциональным скорости вытеснения, т. е. образовывалась стабилизированная зона.
Протяженность стабилизированной зоны d условно определялась как расстояние между точками с насыщенностями 0,40 и 0,80. Из рис. 44 видно, что при малых скоростях (У^-1 > 2 • 10⁴ с/м)d при­
близительно пропорционально V *, как и следует из вышеуказанной теории. Однако при значении V~^l около 1 • Ю⁴ с/м d(V~^x) имеет минимум, а при меньших значениях V~^x снова наблюдается рост стабилизированной зоны. По-видимому, увеличение d связано с не­равновесностью вытеснения, т. е. с запаздыванием перераспределе­ния фаз в порах (см. § 4 данной главы).
Существование минимума на кривой d(V~') согласуется с обна­руженным ранее В. Г. Оганджанянцем наличием максимума на кривой зависимости нефтеотдачи при прорыве воды от скорости вы­теснения.
Область применимости уравнения Рапопорта — Лиса ограничи­вается в описанных экспериментах скоростями менее 5 • 10—⁵ м/с или значениями безразмерного параметра N_c
N_c = < 0,7 • lO-⁶.
Такое критическое значение N_c на несколько порядков ниже критических значений N_c, необходимых для движения в порах изолированных^капель, размер которых сравним с размером пор (см. § 1 данной главы). Как и аналогичный результат Д. А. Эф­роса и В. П. Оноприенко о влиянии параметра iV_c = n, на нефте­отдачу, это означает, что характерные размеры систем поровых каналов занятых каждой из фаз, и изолированных скоплений каждой фазы намного больше характерных размеров пор. Соот­ветственно могут быть значительными и характерные времена перестройки потока под действием капиллярных сил. Возника­ющие при такой перестройке неравновесные явления в ходе вы­теснения несмешивающихся жидкостей изучаются в § 4 настоящей главы.
Граничные условия и концевые эффекты. Рас­смотрим задачу о вытеснении несмешивающихся жидкостей из образца длины L с учетом капиллярных сил в одномерной поста­новке, т. е. на основе уравнения Рапопорта —Лиса (IV.66), кото­рое запишем в размерных переменных:
ds/dt -f (uqF' (s) /т) dsldx— a²d²Ф (s) Idx² = 0, (IV.77)


РИС. 45. Функция Ф (s)

РИС. 44. Экспериментальная зави­симость длины стабилизированной зоны от обратной скорости вытес­нения
где
а² = ix\/"kl)х{\^т, Ф (s) = — J /2 (s) F (s) J' (s) 5s.
0
В тех же обозначениях из уравнений обобщенного закона Дар­си (IV. 11) и (IV. 12) следует:
U\ = uqF (s) — а²тдФ/дх, U2 = Uo—-щ. (IV.78)
Типичный вид функции ®(s), соответствующей относительным проницаемостям fi (s) = s⁴, /₂ (s) = (1 + s) (I — s)³ и J' (s) = s^_1/2, по­казан на рис. 45.
Пусть образец длины L первоначально заполнен вытесняемой жидкостью с насыщенностью а₀(х) =1—So(x), и через сечение х = = 0 начинается закачка вытесняющей фазы со скоростью фильтра­ции и = «о (О-
Уравнение (IV.77) — квазилинейное уравнение в частных производ­ных второго порядка параболического типа. В задаче о вытеснении для этого уравнения должны быть заданы граничные условия как во «входном» сечении при х = 0, так и в «выходном», при х = L.
Формулировка граничных условий зависит от состояния жид­костей и пористой среды вне рассматриваемого образца и от преимущественной смачиваемости его скелета вытесняющей или вытесняемой фазой, т. е. в случае вытеснения нефти водой от того, является среда гидрофильной или гидрофобной.
Заданными на входе могут быть отношение скоростей фильт­рации фаз либо насыщенность, либо некоторая их комбинация. Рассмотрим некоторые типичные постановки. Пусть пористая среда соприкасается при х<0 со свободным пространством, за­полненным нагнетаемой вытесняющей фазой. При этом возможны две ситуации. Если вытесняющая фаза менее смачивающая, то только она и будет двигаться в сечении, примыкающем к входно­му концу, т. е. будет выполняться условие равенства нулю ско­рости фильтрации вытесняемой фазы при л:=0, что с учетом фор­мул (IV.78) дает
«2 = и₀ (1 — F (si)) + а²тдФ/дх = 0, х = О, (IV.79)
где si = s(0, t).
Если же вытесняющая фаза более смачивающая, чем вытес­няемая (гидрофильная среда), то последняя может выходить в свободное пространство путем противотока. Поэтому условие (IV.79) выполняется только в том случае, если на входном конце образца установлена полупроницаемая мембрана (из материала противоположной смачиваемости), не допускающая противоточ­ной фильтрации вытесняемой фазы. Если же возможен выход несмачиваемой вытесняемой жидкости в свободное пространство, заполненное вытесняющей фазой, то такое истечение происходит в виде отдельных капель, радиус которых г_р близок к радиусу самых крупных пор. В таком случае при х = 0 задается условие равенства капиллярного давления в среде капиллярному давле­нию в капле