Двухфазная фильтрация и теория вытеснения нефти водой

т = s₂)/ix,-) gradp_h i= 1, 2, 3, (IV.24)
Pi — Pi = ^pc (si, s₂), i, / = 1, 2, 3. (IV.25)
Исследования относительных проницаемостей в системе трех фаз показали, в частности, что в системе нефть — газ — вода в гидрофильных средах относительная проницаемость для наиболее смачивающей фазы (воды) зависит только от водонасыщенности и не зависит от соотношения двух других фаз.
Уравнения неразрывности в трехфазной системе при условии несжимаемости фаз имеют вид, аналогичный (IV. 15):
т (dsi/dt) + div Ui = 0. (IV.26)
§ 2. Структура двухфазного течения при крупномасштабном описании.
Задача Баклея-Леверетта
На вытеснении нефти водой или газом основана технология ее извлечения из недр при разработке нефтяных месторождений. Это либо вторжение в пласт краевой воды или газа газовой шапки, продвигающих нефть к забоям добывающих скважин (естествен­ный напорный режим), либо закачка вытесняющей жидкости или газа через систему нагнетательных скважин для поддержания дав­ления в пласте и продвижения нефти к добывающим скважинам. Рассмотрим задачу о вытеснении нефти водой или газом (более широко — задачу о вытеснении одной несмешивающейся жидкости другой) на основе уравнений двухфазной фильтрации, полученных в предыдущем параграфе. Для решения системы уравнений (IV.11) — (IV. 15) широко применяется аппарат численных мето­дов. Основываясь на общих принципах, изложенных в гл. I, огра­ничимся только исследованием общих свойств поля насыщенности, для чего применим асимптотический подход, основанный на малос­ти некоторых безразмерных параметров, входящих в условия зада­чи о вытеснении несмешивающихся жидкостей [5].
Уравнения Баклея — Леверетта. Общая теория. Запишем основную систему уравнений для давления и насыщен­ности в виде (IV.19) и (IV.20), используя безразмерные пере­менные
X = x/L, Y = y/L, Z = zjL, т = k&pt/mpiL ~
= uot/mL, Pi = pi/hp, П = P/Д/?, е = a²/u₀L =
= a cos 0 Vk/ V ткр.
Здесь L — характерный размер (например, расстояние между скважинами или галереями); «о —характерная скорость, связанная с характерным перепадом давления кр. Получим
div [<р (s) gradll] = 0, (IV.27)
ds/dt — div [/i (s) grad П] — еДФ (s) = 0, (IV.28)
где Д — оператор Лапласа.
В задачах нефтяной подземной гидродинамики перепад давления на границах области течения, размер которой достигает сотен мет­ров, составляет несколько десятых или единиц мегапаскалей, скорость фильтрации 10^_6—10^-5 м/с, капиллярное давление в неф­тяных пластах равно 10^-4—10~² МПа, а параметр а²—10~⁸ — — 10~⁶ м²/с. Отсюда следует, что параметр s в уравнении (IV.28) порядка 10~²—10—⁴, поэтому в крупномасштабном приближении членом, содержащим е, можно пренебречь, т. е. записать вместо (IV.28)