Двухфазная фильтрация и теория вытеснения нефти водой

ds/dt — div [/1 (s) grad П] = 0. (IV.29)
Чтобы исследовать общие свойства поля насыщенности на основ уравнений (IV.27) и (IV.29), последние удобнее переписать в раз­мерном виде
div и — 0; и = —(ky (s)/jj.i) gradр, (IV.30)
mds/dt + F' (s) (и grad s) = 0, (IV.31)
где u = ui + u₂ — суммарная скорость фильтрации обеих фаз. Си­стема уравнений (IV.27) и (IV.29) эллиптического типа относитель­но давления и гиперболического — относительно насыщенности. Для уравнения (IV.31) можно получить семейство характеристик, на котором выполняются соотношения
dx/dt -= uF' (s)/m, dy/dt = vF' (s)lm, (IV.32)
dz/dt = wF' (s) Itn, ds/dt = 0.
Соотношения (IV.32) при заданном мгновенном поле скоростей можно рассматривать как уравнения распространения точек с по­стоянной насыщенностью. Рассмотрим поверхность Г с постоянным на ней значением насыщенности s (так называемую изосату), урав­нение которой ф (х, у, z, t) = 0. Тогда из (IV.32) следует
V_n = (дф/д£)(дф/дл) = u_nF' (s)/m, (IV.33)
где V_n — скорость перемещения изосаты по нормали к ней; и_п — проекция суммарной скорости фильтрации на нормаль к изосате.
В задаче о вытеснении несмешивающихся жидкостей в систе­ме скважин или галерей граничными условиями для уравнений (IV. 30) и (IV. 31) являются, во-первых, обычные условия для давления, задаваемые на скважинах или галереях при движении несжимаемых жидкостей (см. гл. II), и, во-вторых, условия для насыщенности на нагнетательных скважинах или галереях. Когда нагнетается чистая вытесняющая фаза, насыщенность на конту­рах нагнетания должна, очевидно равняться максимальной s*. Кроме того, для насыщенности должно быть задано начальное распределение s(x, у, г, 0) =f (х, у, г).
Уравнения (IV.32) означают, что при заданной скорости фильтра­ции скорость распространения насыщенности s пропорциональна производной функции Баклея—Леверетта F'(s). Типичные кривые относительной проницаемости как для смачивающей, так и для не­смачивающей фазы вогнуты к оси s, вследствие чего функция F(s), равная тождественно нулю при s < s* и единице при s > s*, имеет точку перегиба, а функция F’(s)—максимум (см. рис. 37). Поэтому в соответствии с формулами (IV.32) большие значения насыщенности вытесняющей фазой s (на рис. 38 слева) могут «обгонять» меньшие (на рис. 38, начиная с Т = 0,5), вследствие чего появляются поверх­ности разрыва (скачки), при переходе через которые насыщенность меняется на конечную величину.
Появление скачков насыщенности связано с пренебрежением членом со старшей производной в уравнении (IV.28). Скачками насыщенности аппроксимируются области, внутри которых велик |grad s|, и поэтому нельзя пренебрегать последним членом урав­нения (IV.28). При точном решении (IV.28) вместо скачков воз­никают узкие области с быстро меняющейся насыщенностью. Асимптотическому исследованию распределения насыщенности в этих зонах посвящен следующий параграф.
Прежде чем исследовать формирование и эволюцию скачков насыщенности, выведем соотношения, выражающие условия со­хранения массы и давления на них.
Пусть скачок насыщенности проходит через цилиндрический эле­мент пористой среды объемом 2, вырезанный по нормали к поверх­ности скачка и ограниченный участками поверхностей S, параллельных поверхности скачка, находящихся на расстоянии Дп от нее. Условие сохранения массы первой фазы в элементе имеет вид


(IV.34)
d jdt + | u\_ndo = 0.
Далее