Двухфазная фильтрация и теория вытеснения нефти водой

Ш = — (k/pz) ft (s) S7 pi- (IV. 119)
Чтобы замкнуть эту систему, необходимо связать эффективную
насыщенность s с истинной насыщенностью s. Естественно предпо­
ложить, что отличие s от s определяется локальной скоростью изменения насыщенности s _t и характерным для данной среды вре­менем установления равновесия т. Тогда, используя соображения размерности, получим:
s — s=®(xs,<), (IV. 120)
где Ф — неотрицательная при положительных значениях аргумента функция, причем, очевидно, Ф (0) = 0. Ограничиваясь линейным разложением функции Ф и полагая коэффициент разложения рав­ным единице (это эквивалентно переопределению времени т, опре­деленного лишь с точностью до порядка), положим окончательно
s — s = zsj. (IV. 121)
В рассматриваемой упрощенной модели будем считать т по­стоянной величиной.
Соотношения (IV. 118), (IV. 119) и (IV. 121) можно, как и в клас­сической теории, привести к системе двух уравнений для насы­щенности s и полной скорости фильтрации U:
ms,t + V [UF (s + is,t)] = 0; vU = 0. (IV. 122)
Существенно, что первое уравнение системы (IV. 122) уже не разрешено относительно производной по времени.
Стабилизированная зона. Произведем асимптотический анализ решений системы (IV. 122) по аналогии с анализом, дан­ным в § 3 настоящей главы. В результате получим решение, описы­вающее стабилизированную зону, но иной физической природы. Перейдем к безразмерным переменным


(IV. 123)
b = t/t_u l = x/L, s, V = (//(/,, t\ — y.\L²lkb.p, Ui
если задано давление на границе области движения; t\ = L/U_lt U\ = Uoi если задана нормальная компонента полной Скорости фильтрации на границе. Здесь Др — характерный перепад давления на границе; Uо — характерная скорость на границе; L — характер­ный размер области. Уравнения (IV. 122) принимают вид
ms, _ь+ v[V/=’(s + £₁s,»)] = 0, vK = 0, £! = ■://,. (IV.124)
Проведем асимптотический анализ системы (IV. 124) в предпо­ложении, что параметр мал. При этом для внешнего решения получаем ту же задачу, что и в § 2 данной главы, определяющую прежний вид решения с поверхностями разрыва насыщенности. Неравновесность скажется только на внутреннем решении. Область быстрого изменения насыщенности представляет собой тонкий по­граничный слой вблизи поверхности разрыва насыщенности внеш­него решения. Вновь введем локальную декартову систему коор­динат с началом в произвольной точке поверхности разрыва Е внешнего решения и осью С, направленной по нормали к Е. Вве-











дем новую единицу длины ejL по оси С, оставив масштаб по другим осям равным L, и «быстрое» время 6 =0/6]. Тогда производные по С будут иметь порядок единицы, а про­изводные по остальным пространст­венным переменным—£].
В нулевом приближении по ei получаем из (IV. 124) уравнения