Е. А. Перминов методическая система обучения дискретной математике в аспекте интеграции образования монография

декартовым произведением X · Y множеств X и Y называется множе- 

множества X, второй элемент y есть элемент множества Y. 

ведлива следующая теорема. 

из n и m элементов соответственно. Тогда произведение X · Y состоит 
из n · m элементов. 

подготовки, изучаются перестановки, размещения, сочетания, выводятся 

222 

формулы для подсчета числа этих основных конфигураций. При этом 
полезно давать задачи с некорректной формулировкой. Наиболее харак- 

Задача. Для обеспечения одного из вариантов работы заводского 
конвейера необходимо последовательно нажать две из трех различных 

может существовать различных вариантов работы конвейера? 

уточнения его формулировки: 

обходимо нажать дважды на одну и ту же кнопку p, т. е. вариант pp? 

кнопок p и s? Иными словами, возможны ли варианты ps или sp? 

фигураций у студентов вызывает трудности использование понятия 
прямого произведения нескольких множеств и термина «кортеж», 

пример, используется понятие упорядоченного или неупорядоченного 
подмножества из k элементов n-элементного множества. 

счета числа размещений, а затем – для подсчета числа перестановок. 
Из этих формул следует формула для подсчета числа сочетаний. 

наторных конфигураций) может значительно облегчить решение со- 
ответствующих задач, в которых предварительно уясняется метод или 

На основе изученного можно реализовать плавный переход к бо- 
лее глубокому профильному обучению студентов другим важным 

для будущих учителей математики и информатики [156]. Например, 
в этом учебном пособии следующим образом (после решения задачи 

Предварительно дается понятие выборки из элементов множе- 
ства: «Пусть X = {x1, …, xn} – множество из n элементов. Любая сово- 

223 

купность r элементов xi , xi , …, xi  из множества Х называется выбор- 
кой из n элементов по r или кратко – (n, r)-выборкой. 

из множества M = {p, q, s}» [156, с. 19]. 

ниями. 

доченные выборки. Выборка называется упорядоченной, если задан 
порядок следования ее элементов. Поэтому две упорядоченные вы- 

рядком их следования, являются различными. 

жества M = {p, q, s}. Телефонные номера 123–45–67 и 213–45–67 яв- 
ляются различными (10, 7)-выборками из множества цифр. 

упорядоченная (

X X X

Упорядоченная (n, r)-выборка, все элементы которой различны, 

называется размещением из n элементов по r без повторений или 

Например, (10, 7)-размещением без повторений является (10, 7)-вы- 
борка 123–45–67 из множества цифр. 

ряться, называется размещением r элементов из n с повторениями 
или (n, r)-размещением с повторениями. 

борка ppqsqq из множества M = {p, q, s}. 

значается An , а число всех размещений из n элементов по r с повторе- 
ниями – 

3 элементов по 2 без повторений: pq, qp, ps, sp, qs, sq. Поэтому A3 = 6. 

224 

Если добавить к этим размещениям (3, 2)-выборки pp, qq, ss с повто- 
рениями, то получим 

Далее доказывается теорема 

A n n n r  

при r ≤ n и An  = 0 при r > n. 

педагогических направлений подготовки первым понятиям и фактам 
комбинаторики являются следующие. Во-первых, осуществляется 

с занимательным или практическим сюжетным текстом. Во-вторых, 
реализуется пропедевтика изучения правил суммы и произведения. 

бора в решении простых задач комбинаторики на нахождение числа 
перестановок, размещений и сочетаний (для подсчета числа этих ос- 

Содержательная часть этого раздела может быть использована 
при построении элективных курсов по математике для школьников, 

бинаторики.