Е. А. Перминов методическая система обучения дискретной математике в аспекте интеграции образования монография

4.3.2. Методика обучения студентов педагогических 
направлений подготовки понятию бинарного отношения 

Как известно, граф без кратных ребер является частным случаем 
бинарного отношения. Методические основы обучения студентов по- 

ставлены в работе «Введение в дискретную математику» [153]: при- 
водятся многочисленные примеры бинарных отношений из школьной 

рые бинарные отношения на конечном множестве изображаются точ- 
ками в декартовой системе координат, что используется для опреде- 

Отметим, что интересные методические особенности в изложе- 
нии данной темы имеются в учебном пособии В. Я. Турецкого для сту- 

ных изданиях, предназначенных для студентов вузов, не изучающих 
математику и ее приложения, понятие бинарного отношения объясня- 

в аннотации категории читателей. Например, как и в первых учебных 
изданиях по ДМ [45, 108, 281] для математических и других специ- 

бии для управленческих специальностей [136] изложение начинается 
фактически сразу со стандартного формального определения бинар- 

чем на этой же странице аналогичным образом определяется и n-мест- 
ное отношение). 

с рассмотрения соответствий между элементами различных множеств 
(в частности, с изучения отображений, образов и прообразов элемен- 

ний (соответствий) с использованием графов [75]. 

объем выделяемого на обучение времени, можно предложить следую- 

216 

щую методическую схему изучения понятия бинарного отношения, 
пригодную также для слабых студентов и учащихся физико-мате- 

Сначала приводятся примеры отношений порядка на множестве 
чисел, примеры параллельности и перпендикулярности на множестве 
прямых, отношения «делиться нацело» и т. д. В частности, поясняют- 

шению к числу a или прямая b перпендикулярна по отношению 
к прямой a соответственно. Таким образом, элементы того или иного 

ком-то отношении (быть больше, быть перпендикулярными и т. д.). 
Затем объясняется, что если элементы a и b некоторого множества A 

это кратко записывается так: aρb, где a, b 
A. 

натуральных чисел N, то вместо aρb, a, b 
A пишется, как и прежде, 

b, a, b 

ρ принято обозначать любое отношение между элементами данного 
множества. Например, можно договориться, что запись aρb для множе- 

и учесть таким образом все пары друзей из класса. Если же aρb означа- 
ет, что населенный пункт a соединен дорогой с населенным пунктом b, 

понятия неориентированного графа изобразить это отношение на ри- 
сунке. В результате студент понимает, что неориентированный граф яв- 

Затем можно объяснить, что слово «би» в переводе с латинского 

языка означает «два». Поскольку рассмотренные ранее отношения 

ваются бинарными. Необходимо сообщить, что в математике изуча- 
ются тернарные, n-арные отношения, и пояснить это небольшим чис- 

217 

Далее следует обеспечить привыкание к использованию обыч- 
ного обозначения ρ бинарного отношения. Для этого целесообразно 

установить наличие этих свойств у отношений, неявно изучаемых 
в школьной программе или легко определяемых в рамках ее содержа- 

Приводятся определения основных свойств бинарного отноше- 
ния: рефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзи- 

нение. 

щие бинарные отношения: 

1) a, b 
b; 

3) с, в – прямые на плоскости, и сρd означает, что c⊥d; 

4) m, n ∈ N и mρn означают, что m делится нацело на n (кратко 

6) x, y ∈ R и xρy означают, что (x + y) = x  + y ; 

7) x, y ∈ R и xρy означают, что |x| = |y|. 

Для полноты изложения повторим эти определения. 

квадратом A  множества A называется множество всевозможных пар, 
составленных из элементов этого множества. 

ется любое подмножество декартова квадрата A множества A.  

щихся графами, из окружающей (школьной) жизни [75, 155]. 

нием ρ, определяемым на множествах (чисел) X и Y следующим обра- 

218 

Целесообразно также пояснить, что и геометрические отображе- 
ния являются бинарными отношениями. Подобный подход к учебно- 

ром будет обеспечено гармоничное обучение всей системе методов 
математического моделирования, основанных как на «непрерывной», 

На основе изученного можно реализовать плавный переход к бо- 
лее глубокому профильному обучению студентов теоремам о бинар- 

собие для будущих учителей математики и информатики [158, 164, 
186]. После предварительного обучения понятию n-арной алгебраиче- 

определение формальной алгебраической системы. 

A = 〈A, Ω, Θ〉, в которой Ω – множество операций, а Θ – множество 
отношений, определенных на множестве A. Если множество A конеч- 

случае она называется бесконечной. 

ром операций, а в случае Ω = ∅ – реляционной системой. 
Последовательность операций и отношений алгебраической 

ее типом. Если сигнатура (f1, …, fn; ρ1, …, ρk) алгебраической системы 
конечна, то такая система называется алгебраической системой ко- 

арность отношения ρα, α = 1, …, k. 

лей и других важных классических алгебраических структур. 

педагогических направлений подготовки понятиям графа, бинарного 
отношения и их основным свойствам являются следующие. Во-пер- 

219 

вых, осуществляется необходимая максимальная мотивационная во- 
влеченность студентов, особенно слабых, в работу по решению задач 

воплощается в жизнь идея Л. С. Выготского о пути обретения знаний 
посредством объяснительной реконструкции соответствующих об- 

нии (опора на понятия равных треугольников, параллельных и пер- 
пендикулярных прямых и др.). В-третьих, устанавливаются внутри- 

сов математики (функциями и геометрическими преобразованиями). 
В-четвертых, важной методической особенностью является и опора 

Содержательная часть этого раздела может быть использована 
при построении элективных курсов по математике для школьников, 

ношения и их основным свойствам.