Е. А. Перминов методическая система обучения дискретной математике в аспекте интеграции образования монография

воположного слагаемого). 

для других ранее изученных студентами операций сложения: 
1) cложения остатков от деления целых чисел на 3; 

вильного треугольника; 

Отметим следующие существенные особенности использования 
символики в доказательствах этих законов на следующем примере. 

Сначала с помощью теоремы об остатке суммы строится табли- 

ца сложения остатков 0

(рис. 4.5): 

+ 
0 
1

0 
0 
1

1 
1 
2

2 
2 
0

Рис. 4.5 

Далее доказывается существование нуля. При этом замечается, 

что нулем при сложении остатков является остаток 0

проверки равенства a + 0 = 0 + a = a следует подставить в него вместо 

символа 0 остаток 0

a + 0 
= 0 
+ a = a. 

Затем студентам можно предложить последовательно подстав- 

лять в a + 0 
= 0 
+ a = a вместо символа a его значения 0

чтобы убедиться в справедливости закона. 

228 

Замечается, что для проверки закона a + (–a) = (–a) + a = 0 (су- 
ществование противоположного слагаемого) необходимо подставить 

: a + (–a) = (–a) + a = 0 
. 

Тогда очевидно, что для слагаемого a = 0 
имеем противоположное 

слагаемое – a = 0 
, для a = 1 
имеем –a = 3 
, для a = 2 
имеем –a = 2 
, 

для a = 3 
имеем – a = 1 
. 

ставить в равенство (a + b) + c = a + (b + c) = 0 вместо a, b, c все воз- 
можные наборы их значений. При этом особо отмечается, что по за- 

a + b) + c = a + (b + c) = 0 
справедливо для всех наборов, содержащих элемент 0

(0
+ (b + c); (a + 0 
) + c = a + c = a + ( 0 
+ c); 

(a + b) + 0 
= a + b = a + (b + 0 
). 

Далее рассматриваются все наборы значений a, b, c, не содер- 

жащие 0

Затем студентам, особенно слабым, необходимо изучить враще- 
ния квадрата и правильного пятиугольника, являющихся их самосо- 

но так же, как и для вращений треугольника, студентам можно дока- 
зать законы 1–3 для операций сложения этих вращений квадрата 

Целесообразно также сообщить, что доказательство этих зако- 
нов для операции сложения векторов имеется в школьных учебниках 

значают векторы a , b , c  и 0 , где 0 – нулевой вектор. Символ –a обо- 
значает вектор −a , противоположный вектору a . 

при сложении двух любых элементов множества получается элемент 
этого же множества. Студентам сообщается, что обычная операция 

ку сумма простых чисел не всегда является простым числом (т. е. мо- 
жет оказаться «чужим» числом).

229 

Дается определение группы как множества G с определенной на 
нем операцией сложения, удовлетворяющей выделенным законам. 

Z, множество остатков от деления целых чисел на три, множество 
вращений правильного треугольника, квадрата и пятиугольника, 

операций. 

ния, не являющихся группами.

на нем обычной операцией сложения его чисел. Число нуль не при- 
надлежит множеству N, поэтому его нельзя подставлять в равенство 

ствует такого элемента 0, что a + 0 = 0 + a = a для любого a из N. Ста- 
ло быть, операция сложения натуральных чисел не удовлетворяет за- 

Отмечается также, что для любого натурального числа a проти- 
воположное ему отрицательное число не принадлежит множеству на- 

ствует такого –a, что a + (–a) = (–a) + a = 0. Следовательно, закон 3 не 
справедлив для операции сложения на N. 

с определенной на нем операцией сложения. Очевидно, для операции 
сложения справедливы законы 1 и 2. Для положительного целого 
числа противоположное ему отрицательное число уже не принадле- 

жения чисел из M, поэтому множество M не является группой. 

чисел с операцией сложения. Очевидно, для сложения чисел –1, 0, 1 
справедливы законы 1–3. Но число 1 + 1 = 2 уже не принадлежит дан- 

операция сложения не определена на множестве чисел –1, 0, 1. Сле- 
довательно, это множество не является группой. 

230 

Можно привести другие примеры групп. 

1 + 1 = 2, множество чисел 0, 1 не является группой. Однако изменим 
равенство 1 + 1 = 2, положив 1 + 1 = 0. Очевидно, множество чисел 0, 

лицей сложения на 3 (см. рис. 4.5).