Эффективная масса электронов и дырок Дифференциальное уравнение плоских волн Атом водорода

Эффективная масса плотности состояний[править | править код]

Поведение плотности состояний электронов и дырок вблизи краёв зон аппроксимируется формулами
��(�)=4�(2���ℎ2)3/2�−��,�ℎ(�)=4�(2���ℎ2)3/2��−� ,
где ��  и ��  — энергии краёв валентной зоны и зоны проводимости, соответственно, ℎ  — постоянная Планка. Входящие сюда величины ��� , ���  носят название эффективных масс плотности состояний. Для изотропного параболического закона дисперсии они совпадают с эффективными массами �∗  (раздельно для электронов и дырок), а в более сложных анизотропных случаях находятся численно, с усреднением по направлениям.

Обобщения[править | править код]

Понятие эффективной массы в физике твёрдого тела используется не только применительно к электронам и дыркам^[3]. Оно обобщается на другие квазичастицы (типы возбуждений), такие как фононы, фотоны или экситоны, с теми же формулами для расчёта (только подставляются законы дисперсии, соответственно, для фононов и так далее). Тем не менее, основным применением термина всё же является именно кинетика электронов и дырок в кристаллах.

Эффективная масса электрона

Согласно формуле де Бройля, импульс свободного электрона равен р = Ьк, скорость его поступательного движения соответственно г = Й 1тк. Дифференцируя дисперсионную формулу
но к, будем иметь  откуда для импульса
электрона и его скорости получим следующие выражения:

В таком виде импульс и скорость можно записать не только для свободного электрона, но и для электрона, движущегося в периодическом поле кристалла. Импульс р в этом случае называют квазиимпульсом.
Если создать в кристалле внешнее электрическое поле напряженности е, то действующая на электрон сила Е = её (е — заряд электрона) сообщит ему ускорение

За бесконечно малое время ей сила Е производит работу  которая идет на приращение энергии электрона 
откуда следует, что бМЙ = Е/Н. При этом ускорение, с которым движется электрон во внешнем поле, равно

Из этой формулы видно, что под действием внешней силы С = её электрон в периодическом поле кристалла в среднем движется так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон, имеющий массу
I
Величина, определяемая формулой (3.8), называется эффективной массой электрона. Полагая, что электрон, находящийся в периодическом поле кристалла, обладает эффективной массой от_эф, можно описывать его движение во внешнем поле так, как описывают движение обычного свободного электрона. Эффективная масса электрона бывает как положительной, так и отрицательной. По абсолютному значению она может быть как меньше, так и больше массы покоя электрона.
Для электронов, расположенных у дна зоны, соответствующую энергию запишем как Е_а(к) ~ Е₀ тш + А_п(ка)². В таком случае с²Е(к)/йк² = 2А₀а², и эффективная масса равна

Поскольку обменный интеграл А₀ взят по абсолютному значению, т. е. А₀ > 0, то получаем положительную эффективную массу т_эф > 0. Следовательно, электроны, расположенные у дна любой энергетической зоны, имеют положительную эффективную массу. Поэтому во внешнем поле, созданном в кристалле, они движутся в направлении действующей силы, а значит, против внешнего поля. Отличие таких электронов от свободных состоит в том, что их эффективная масса может сильно отличаться от массы покоя.
Из формулы (3.9) видно, что, чем больше А₀, т. е. чем шире разрешенная зона, тем меньше эффективная масса электронов, расположенных у дна этой зоны.
Для электронов, находящихся у потолка зоны, энергия  , следовательно  и эффективная масса соответственно равна

Поскольку величина А_в > 0, то т'.^ < 0, т. е. эффективная масса отрицательна. Таким образом, все электроны, расположенные у потолка энергетической зоны, ведут себя аномально: они ускоряются в направлении внешнего электрического поля. Абсолютная величина эффективной массы электрона и в этом случае определяется шириной энергетической зоны — чем шире зона, тем меньше абсолютное значение эффективной массы тф.
Для свободного электрона вся работа А внешней силы Е идет на увеличение кинетической энергии поступательного движения:

Дифференцируя Е_к дважды по к и подставляя результат в формулу (3.8), получим ти_эф = т. Таким образом, эффективная масса свободного электрона всегда совпадает с его массой покоя.
Иначе обстоит дело с электроном в кристалле, где он обладает не только кинетической, но и потенциальной энергией. При действии внешней силы Е часть работы этой силы может перейти в кинетическую Е_к, а часть в потенциальную и энергию, т. е. А =Е_к+и.
В этом случае кинетическая энергия, а следовательно, и скорость движения электрона растут медленнее, чем у свободного электрона. Электрон становится как бы тяжелее, двигаясь под действием силы Е с меньшим ускорением, чем свободный электрон.
Если вся работа внешней силы перейдет в потенциальную энергию II электрона: А = [/, то приращения кинетической энергии и его скорости не произойдет — электрон будет вести себя как частица с бесконечно большой эффективной массой.
Если же при движении электрона в кристалле в потенциальную энергию переходит не только вся работа внешней силы Е, но и часть кинетической энергии Е'_к, имевшейся у электрона до включения внешнего поля, т. е. и =А + Е'_к, то по мере движения скорость такого электрона уменьшится, он замедлит свое движение и поведет себя как частица, обладающая отрицательной эффективной массой. Именно так происходит с электронами, расположенными у вершин энергетической зоны.
Однако в кристалле может реализоваться случай, когда при движении электрона под действием внешней силы Е в кинетическую энергию переходит не только вся работа внешних сил, но и часть потенциальной энергии электрона V, т. е. Е"_к =А + [/'. У такого электрона его кинетическая энергия, а следовательно, и скорость растут быстрее, чем у свободного электрона. В результате

Рис. 3.8. Зависимости изменения полной энергии электрона Е, скорости у и массы т_Эф от волнового числа к при движении в периодическом поле
кристалла этот электрон становится как бы «легче» свободного электрона, обладая эффективной массой т_эф < т.
На рис. 3.8 представлен характер изменения полной энергии электрона Е(к), скорости его поступательного движения ^;(/<) и эффективной массы /и.,ф с изменением волнового числа к в пределах от нуля до  . У днау-зоны вблизи точки к = 0 энергия Е(к) ~ к²,
скорость электрона  увеличивается пропорционально