Эффективная масса электронов и дырок Дифференциальное уравнение плоских волн Атом водорода

Примеры задач с решением

Задание: Поперечная волна распространяется по натянутой струне со скоростью $v=2\frac<м><с>$, период колебаний точек струны равен T= 1 с, амплитуда колебаний составляет 0,05 м. Какими будут смещение и скорость малого элемента струны, который находится на расстоянии $x_1=1\ $м от источника колебаний в момент времени $t_1$=2 c?
Решение: Основой для решения задачи служит уравнение одномерной волны:
где $s$ – смещение точки струны, совершающей колебания; $x$ – расстояние от источника волны до рассматриваемой точки; $k=\frac<\omega >$ – волновое число; $v$ – скорость распространения волны.
Циклическую частоту $\omega $ найдем (при T=1 c) как:
Тогда волновое число при $v=2\frac<м><с>$ равно:
Уравнение для нашей волны в учетом данных задачи приобретет вид:
Смещение точки струны, находящейся на расстоянии $x_1=1\ $м от источника колебаний в момент времени $t_1$=2 c будет равно:
Скорость рассматриваемой точки струны найдем как:
Ответ: $s_1=-0,05$ м; $\frac
\left(t_1,\ x_1\right)$=0$\frac<м><с>$
Задание: Плоская одномерная волна распространяется в упругой среде. Изобразите на графике направление скорости частиц среды в точках $s=0,\ $при t=0 для продольной и поперечной волн.
Решение: Уравнением одномерной плоской волны служит выражение:
При $t=0\ c$ из выражения (2.1) получаем:
В продольной волне частицы смещаются вдоль направления скорости движения волны (рис.1).

В продольной волне частицы совершают колебания поперек направления скорости движения волны рис.2.

Волновое уравнение

Уравнение любой волны есть решение некоторого дифференциального уравнения, называемого волновым.
Найдем общий вид волнового уравнения. Для этого продифференцируем дважды уравнение плоской волны ?, = Л cos(co/ – кг) по времени t и всем координатам. Учтем при этом, что и = со /к. Окончательно получим для волнового уравнения: