§2. Gyolder tengsizligi.
Teorema. shartni qanoatlantiruvchi barcha musbat p, q sonlar va aj, bj, j = 1, ..., n sonlar uchun
(4)
tengsizlik har doim to’g’ri.
Isboti. deb faraz qilamiz (aks holda (4) tengsizlik bajarilishi ravshan). Yung tengsizligini qo’llab,
=
ga ega bo’lamiz. Bu yerdan (4) tengsizlik kelib chiqadi.
Izoh. Gyolder tengsizligining p = q= 2 dagi
Koshi-Bunyakovskiy-Shvarts tengsizligi deb ataluvchi bir muhim xususiy holini aytib o’tamiz.
1-misol (Minkovskiy tengsizligi). Ixtiyoriy musbat aj, bj (j = 1,...,n) sonlar va natural p son uchun
+ (5)
tengsizlikni isbotlang
Yechilishi. (ak +bk)p = ak (ak +bk)p-1 + bk (ak +bk)p-1 (k=1, 2, …, n ) tengsizliklarni qo’shib,
ni olamiz.
(4) tengsizlikka ko’ra
ak (ak +bk)p-1 ,
bk (ak +bk)p-1
larga ega bo’lamiz, bu yerdan q(p-1)= p tenglik yordamida (5) tengsizlik kelib chiqadi.
Misollar
Gyolder tengsizligining holiga ko’ra o’rinli.
Gyolder tengsizligining holiga ko’ra o’rinli.
Agar va bo’lsa, ni isbotlang.
Agar bo’lsa, isbotlang.
5)Agar va bo’lsa, ni isbotlang.
Do'stlaringiz bilan baham: |