Microsoft Word boshlangich sinflarda matematik tushunchalarni umumlashtirish uslublari

II.BOB. BOREL δ-ALGEBRA VA O'LCHOVLI FAZOLAR
2.1. Kolmogravning "0 yoki 1" qonuni
Matematik kutilmasi a va dispersiyasi bo‘lgan bog‘liq bo‘lmagan, bir хil taqsimlangan { } tasodifiy miqdorlar ketma - ketligi berilgan bo‘lsin. Umumiylikka zarar keltirmasdan a = 0 , deymiz. Quyidagi tasodifiy miqdorlarni kiritamiz:
Matematikada Borel to'plami - bu ochiq to'plamlardan (yoki teng ravishda, yopiq to'plamlardan ) hisoblanuvchi birlashma ,sanaladigan kesishish va nisbiy to'ldiruvchi operatsiyalari orqali hosil bo'lishi mumkin bo'lgan topologik fazodagi har qanday to'plam . Borel to'plamlari Emile Borel sharafiga nomlangan .
X topologik fazosi uchun X dagi barcha Borel to'plamlarining to'plami Borel algebrasi yoki Borel s-algebrasi deb nomlanuvchi s -algebrani hosil qiladi . X dagi Borel algebrasi barcha ochiq to'plamlarni (yoki teng ravishda barcha yopiq to'plamlarni) o'z ichiga olgan eng kichik s-algebradir.
Borel to'plamlari o'lchovlar nazariyasida muhim ahamiyatga ega , chunki bo'shliqning ochiq to'plamlarida yoki fazoning yopiq to'plamlarida aniqlangan har qanday o'lchov shu bo'shliqning barcha Borel to'plamlarida ham aniqlanishi kerak. Borel to'plamlarida belgilangan har qanday o'lchov Borel o'lchovi deb ataladi . Borel to'plamlari va ular bilan bog'liq Borel ierarxiyasi ham tavsiflovchi to'plamlar nazariyasida asosiy rol o'ynaydi .
Ba'zi kontekstlarda Borel to'plamlari ochiq to'plamlar emas, balki topologik makonning ixcham to'plamlari tomonidan yaratilishi uchun aniqlanadi . Ikki ta'rif ko'plab yaxshi xulqli bo'shliqlar uchun, jumladan, barcha Hausdorff s-ixcham bo'shliqlar uchun ekvivalentdir, lekin ko'proq patologik bo'shliqlarda farq qilishi mumkin. Agar X metrik fazo bo'lsa, Borel algebrasi birinchi ma'noda generativ tarzda quyidagicha ta'riflanishi mumkin.
X ning kichik toʻplamlarining T toʻplami uchun (yaʼni X ning P( X ) quvvatlar toʻplamining har qanday kichik toʻplami uchun ) boʻlsin.

• 
  {\ displaystyle T_ {\ sigma }}T elementlarining barcha sanaladigan birlashmalari bo'lsin
  
• 
  {\displaystyle T_{\delta}}T elementining barcha hisoblanuvchi kesishmalari bo‘lsin
  
• 
  {\ displaystyle T_ {\ delta \ sigma} = (T_ {\ delta}) _ {\ sigma}.}Endi transfinit induksiya orqali G ^m ketma-ketlikni aniqlang, bu yerda m tartib son , quyidagi tarzda:
  

• 
  Ta'rifning asosiy holati uchun keling{\displaystyle G^{0}}X ning ochiq kichik to'plamlari to'plami bo'lsin .
  
• 
  Agar i chegara tartibli bo'lmasa , u holda i ning bevosita oldidagi tartib i − 1 bo'lsin{\displaystyle G^{i}=[G^{i-1}]_ {\delta \sigma}.} Agar i chegara ordinal bo'lsa, o'rnating
  

{\displaystyle G^{i}=\bigcup _{jDa'vo shundaki, Borel algebrasi G ^ō ₁ bo'lib, bu erda ō ₁ birinchi sanab bo'lmaydigan tartib raqamidir . Ya'ni, operatsiyani takrorlash orqali ochiq to'plamlar sinfidan Borel algebrasini yaratish mumkin
{\displaystyle G\mapsto G_{\delta \sigma}.}
birinchi sanoqsiz tartib raqamiga.
Ushbu da'voni isbotlash uchun, metrik fazodagi har qanday ochiq to'plam yopiq to'plamlarning ortib borayotgan ketma-ketligining birlashmasiga e'tibor bering. Jumladan, to'plamlarning to'ldirilishi G ^m xaritalarini har qanday chegara ordinal m uchun o'z ichiga oladi ; bundan tashqari, agar m sanab bo'lmaydigan chegara ordinal bo'lsa, G ^m sanaladigan birlashmalar ostida yopiladi.
E'tibor bering, har bir Borel B to'plami uchun ba'zi hisoblanuvchi tartibli a _B mavjud, shuning uchun B ni a _B ustidagi operatsiyani takrorlash orqali olish mumkin . Biroq, B barcha Borel to'plamlarida o'zgarganidek, a _B barcha sanaladigan tartiblar bo'yicha o'zgaradi va shuning uchun barcha Borel to'plamlari olinadigan birinchi tartib ō ₁ , birinchi sanab bo'lmaydigan tartibdir. Muhim misol, ayniqsa, ehtimollar nazariyasida , haqiqiy sonlar to'plamidagi Borel algebrasi . Bu Borel o'lchovi aniqlangan algebradir. Ehtimollar fazosida aniqlangan haqiqiy tasodifiy o'zgaruvchini hisobga olsak , uning ehtimollik taqsimoti ta'rifiga ko'ra Borel algebrasida ham o'lchovdir.
Realdagi Borel algebrasi R dagi eng kichik s-algebra bo'lib, barcha intervallarni o'z ichiga oladi .
Transfinit induktsiyasi yordamida qurilishda shuni ko'rsatish mumkinki, har bir bosqichda to'plamlar soni , eng ko'p, kontinuumning kardinalligidir . Shunday qilib, Borel to'plamlarining umumiy soni kamroq yoki teng
{\displaystyle \aleph _{1}\cdot 2^{\aleph _{0}}\,=2^{\aleph _{0}}.}
Aslida, Borel to'plamlari to'plamining kardinalligi kontinuumga teng (mavjud bo'lgan Lebesg o'lchanadigan to'plamlar soni bilan solishtiring, ular qat'iy kattaroq va teng{\displaystyle 2^{2^{\aleph _{0}}}}). X topologik fazo bo'lsin . X bilan bog'langan Borel fazosi juft ( X , B ), bu erda B - X ning Borel to'plamlarining s-algebrasi .
Jorj Makki Borel fazosini biroz boshqacha ta'riflab, bu "borel to'plamlari deb ataladigan alohida s-maydoniga ega bo'lgan to'plam" deb yozgan. ^[1] Biroq, zamonaviy foydalanish ajralib turadigan sub-algebrani o'lchanadigan to'plamlar va bunday bo'shliqlarni o'lchanadigan bo'shliqlar deb atashdir . Bu farqning sababi shundaki, Borel to'plamlari ochiq to'plamlar (topologik fazoda) tomonidan yaratilgan s-algebradir, Makkey ta'rifi esa ixtiyoriy s-algebra bilan jihozlangan to'plamga ishora qiladi . Pastki fazoda topologiyani tanlash uchun Borel bo'shliqlari bo'lmagan o'lchanadigan bo'shliqlar mavjud. O'lchanadigan bo'shliqlar kategoriyani tashkil qiladi, unda morfizmlar o'lchanadigan bo'shliqlar orasidagi o'lchanadigan funktsiyalardir . Funktsiya{\ Displaystyle f: X \ o'ngga yo'l Y} Agar u o'lchanadigan to'plamlarni orqaga tortsa, o'lchanadi, ya'ni Y dagi barcha o'lchanadigan B to'plamlari uchun to'plam{\ displaystyle f ^ {-1} (B)}X da o'lchanadi .
Teorema . X Polsha fazosi bo'lsin , ya'ni Xda X topologiyasini aniqlaydigan va X to'liq ajratiladigan metrik fazoga aylantiruvchi d metrikasi mavjud bo'lgan topologik fazo bo'lsin. U holda X Borel fazosi sifatida ulardan biriga izomorf bo'ladi

1.