Физических упражнений

Z
F F
2
Q
F
1
А
Y
L
x
L
C
P
X
O
h
Рис. 4.4. Силы, действующие
на тело в точке А 
Рис. 4.5. Момент силы тяжести
в большом обороте назад
на перекладине 
Запишем теорему Вариньона в аналитической форме. Согласно 
теореме Вариньона, если данная система сил не эквивалентна ну-
лю и имеет равнодействующую, то момент этой равнодействую-
щей относительно любой оси равен алгебраической сумме момен-
тов слагаемых сил относительно той же оси, или 
1
n
i
i
M
m



. (4.5) 
Здесь М – момент равнодействующей силы относительно некоторой 
оси; m
i
– момент i-й силы относительно той же оси; i – порядковый 
номер рассматриваемой силы; n – количество действующих сил.
Рассмотрим использование теоремы Вариньона в случае опре-
деления координат общего центра масс системы тел в условиях 
силы тяжести на следующем примере (см. рис. 4.6). 
Дана система тел из трех шаров. Масса каждого шара равна со-
ответственно m
1
, m
2
, m
3
(массой соединительных проволок можно 
пренебречь). В соответствии с формулами (4.4), (4.5) имеем 

---

94
M·Хс = m
1
X
1
+ m
2
X
2
+ m
3
Х
3
, 
M·Yc = m
1
Y
1
+ m
2
Y
2
+ m
3
Y
3
, (4.6) 
где М – масса системы; Xc, Yc – координаты общего центра масс 
системы тел по осям Ох, Оу. 
m
m
m
Y Y
Y
Y
Х
Х
Х
Х
1
1
1
3
2
2
2
3
3
Рис. 4.6. Система тел из трех шаров 
Отсюда Хс, Yc определяются равенствами (4.7) 
1
1
2
2
3
3
1 1
2 2
3 3
,
.
m X
m X
m X
m Y
m Y
m Y
Xc
Yc
M
M






(4.7) 
В общем случае формулы для определения координат ОЦТ 
многозвенной системы тел имеют вид 
1
1
n
i
i
i
n
i
i
P X
Xc
P





, 
1
1
n
i i
i
n
i
i
PY
Yc
P





.
(4.8) 

---

95
Уравнения (4.8) позволяют определить координаты центра масс 
звеньев тела спортсмена по известным значениям масс, длин сег-
ментов тела и положению их центра масс. Так как для рассматри-
ваемой модели опорно-двигательного аппарата тела человека по-
ложение центра масс сегмента принято на его продольной оси, то в 
этом случае для определения положения центра масс звена доста-
точно воспользоваться одной из формул в (4.8). Действительно, 
совместим, например, тазобедренный сустав с началом декартовой 
системы координат, а продольную ось ноги – с осью 
Ох. Тогда ко-
ордината центра масс ноги по оси 
Оу равна нулю, так как центры 
масс бедра, голени и стопы расположены на оси 
Ох. Для определе-
ния координаты ЦМ ноги по оси 
Ох необходимо знать массу бед-
ра, голени, стопы, а также их центры масс (
X
1
, 
X
2
, 
Х
3
) в декартовой 
системе координат. 
Масса бедра, голени, стопы определится по табличным данным 
(табл. 4.3). Аналогичным образом, с учетом кинематической схе-
мы ноги (рис. 4.7), определяются и центры масс бедра, голени и 
стопы в декартовой системе координат на оси 
Ох. 
L
L
L
= 44 см
= 38 см
= 26 см
S
S
S
Х
Х
Х
Х
О
Y
20,02
15,39
11,46
1
1
1
2
2
2
3
3
3
Рис. 4.7. Кинематическая схема ноги 
Далее по формулам координат центра масс системы тел (4.8) 
найдем координату центра масс ноги на оси 
Ох. 
Следовательно, прежде чем определить координату 
Xc центра 
масс звена, необходимо предварительно, вычислить массы состав-
ляющих его сегментов и найти их центры масс в декартовой си-
стеме координат. Здесь следует учесть, что для многозвенной мо-
дели звеньями тела могут являться и сегменты. Например, при вы-
полнении сгибательных движений ноги в голеностопном, колен-
ном и тазобедренном суставах звеньями являются сегменты: стопа, 
голень, бедро. 

---

96
Отдельно следует рассмотреть и вопрос об определении коорди-
нат ЦМ туловища, если в качестве исходных данных используются 
не процентные показатели, а значения масс и координат верхней, 
средней, нижней частей туловища, вычисленные по уравнениям 
множественной регрессии. Дело в том, что для вычисления ЦМ туло-
вища предварительно необходимо знать длину каждой из частей ту-
ловища, что можно получить или прямым измерением, или вычис-
лить, используя данные авторов радиоизотопной методики определе-
ния масс-инерционных характеристик звеньев тела человека. 
При прямом измерении длины верхней, средней, нижней частей 
туловища в качестве антропометрических точек, указывающих 
границы сегментов, используют следующие: 
1. 
Верхний отдел туловища. 
Проксимальная точка – остистый отросток седьмого шейного 
позвонка. 
Дистальная точка – нижне-грудинная. 
2
. Средний отдел туловища. 
Проксимальная точка – нижне-грудинная.
Дистальная точка – пупочная. 
3. 
Нижний отдел туловища. 
Проксимальная точка – пупочная.
Дистальная точка – передне-подвздошная. 
Для среднего отдела туловища измерения выполняют в поло-
жении лежа. 
«Биомеханические» длины сегментов тела, в том числе и раз-
личных отделов туловища, можно определить из уравнения мно-
жественной регрессии 
Y = В
0 
+ 
B
1
X
1
+ 
B
2
Х
2
+ 
В
3
Х
3
, 
где 
Y – длина сегмента; X
1
– длина ноги; 
Х
2
– длина тела (рост); 
Х
3
– длина руки; 
B
i
– коэффициенты уравнений множественной 
регрессии. 
Непосредственно коэффициенты 
B
i
можно определить по таб-
личным данным (табл. 4.3). 

---

97
Т а б л и ц а 4.3