Физических упражнений

Определение коэффициентов B
i
 (по: Зациорский В.М. и др., 1981) 
 
Сегмент 
В
0
B
1
B
2
B
3
Стопа 0,516 
0,0086 
0,109 
0,069 
Голень 1,05 
0,282 
0,049 
0,033 
Бедро 5,34 
0,330 
0,093 
–0,012 
Кисть 1,28 
–0,072 
0,02 
0,256 
Предплечье 7,19 
0,134 
0,0016 
0,062 
Плечо 1,79 
0,309 
–0,12 
0,185 
Голова 15,90 
–0,046 
0,094 
–0,047 
Верхняя часть туловища 3,78 –0,133 
0,11 
0,17 
Средняя часть туловища 3,16 –0,219 
0,241 
–0,042 
Нижняя часть туловища –12,90 –0,16 0,19 0,26 
Сейчас вполне правомерно поставить вопрос и об определении ко-
ординат ОЦМ тела спортсмена в процессе выполнения упражнений. 
4.2.2. Общий центр масс биомеханической системы 
Поставленная задача может быть решена одним из следующих 
способов. 
Введем в рассмотрение обобщенные координаты 
Q
i
, соответ-
ствующие углу наклона 
i-го звена к оси Ох. В этом случае для 
трехзвенной модели координаты центра масс звеньев системы (
X
i
, 
Y
i
) определятся равенствами 
X
1
= 
S
1 
cos 
Q
l
;
X
2
= 
L
1
cos
Q
l
+ 
S
2 
cos
Q
2
; 
Y
1
= 
S
1 
sin
Q
1
;
Y
2
= 
L
1
sin
Q
1
+ 
S
2 
sin
Q
2
; 
Х
3
= 
L
1
cos
Q
l
+ 
L
2
cos
Q
2
+ 
S
3
cos
Q
3
; 
Y
3
= 
L
1
sin
Q
1
+ 
L
2 
sin
Q
2
+ 
S
3 
sin
Q
3
. (4.9) 
Введем правые части уравнений (4.9) в уравнения координат 
ОЦМ трехзвенной системы тел (4.7). Получим
1
1
1
2
1
1
2
2
3
1
1
2
2
3
3
( cos
)
( cos
cos
)
( cos
cos
cos
)
;
m S
Q
m L
Q
S
Q
m L
Q
L
Q
S
Q
Xc
m






1
1
1
2
1
1
2
2
3
1
1
2
2
3
3
( sin
)
( sin
sin
)
( sin
sin
sin
)
.
m S
Q
m L
Q
S
Q
m L
Q
L
Q
S
Q
Yc
m






(4.10) 

---

98
Представленные уравнения однозначно определяют координаты 
ОЦМ трехзвенной биомеханической модели через масс-инерционные 
характеристики звеньев тела и обобщенные координаты. 
Учитывая, что центр масс 
i-го звена N-звенной модели выража-
ется посредством уравнений (4.8), можно записать уравнения ко-
ординат ОЦМ для 
N-звенной биомеханической системы в следу-
ющем виде: 
1
1
2
1
1
cos
cos
;
n
n
i
i
i
i
k
j
j
i
k
j
n
i
i
m S
Q
m
L
Q
Xc
m








 

1
1
2
1
1
sin
sin
.
n
n
i
i
i
i
k
j
j
i
k
j
n
i
i
m S
Q
m
L
Q
Yc
m








 

(4.11) 
Уравнения (4.10), (4.11) можно преобразовать, сгруппировав 
члены при тригонометрических функциях. Для равенств (4.10) 
имеем 
1 1
2 1
3 1
1
2 2
3 2
2
3 3
3
(
)cos
(
)cos
cos
;
m S
m L m L
Q
m S
m L
Q
m S
Q
Xc
m






1 1
2 1
3 1
1
2 2
3 2
2
3 3
3
(
) sin
(
)sin
sin
,
m S
m L
m L
Q
m S
m L
Q
m S
Q
Yc
m






(4.12) 
где 
m – масса всей системы. Обозначим алгебраические выраже-
ния при тригонометрических функциях символом 
А с цифровым 
индексом, номер которого соответствует порядковому номеру 
обобщенной координаты 
A
1
= (
m
1
S
1
+ 
m
2
L
1
+ 
m
3
L
1
) / 
m; 
A
2
= (
m
2
S
2
+ 
m
3
L
2
) / 
m; 
А
З 
= (
m
3
S
3
) / 
m.
(4.13) 
Используя полученные выражения, будем иметь компактную 
запись уравнений (4.12): 
Хс = A
1
cos 
Q
l
+ 
A
2
cos
Q
2
+ 
А
3
соs
О
3
; 
Yc = 
A
1 
sin
Q
1
+ 
A
2
sin
Q
2
+ 
А
3 
sin
О
3
. (4.14) 

---

99
Нетрудно заметить, что коэффициенты 
A
i
для одной и той же 
биомеханической системы постоянны. Поэтому для определения 
координат ОЦМ тела спортсмена при произвольных анатомически 
допустимых углах между звеньями тела достаточно один раз вы-
числить коэффициенты 
A
i
и оперировать ими на всей траектории 
системы. Это весьма существенно повышает скорость вычисли-
тельных операций по сравнению с алгоритмом (4.11) и требует 
меньшего количества исходной биомеханической информации. 
Коэффициенты 
A
i
, определяющие координаты ОЦМ 
N-звенной 
биомеханической системы, на основании уравнений (4.13) нахо-
дятся из следующего выражения: 
1
1
,
N
i
i
i
j
j i
i
N
i
i
m S
L
m
A
m
 





(4.15) 
а формулы координат ОЦМ системы примут вид 
1
cos ,
N
i
i
i
Xc
A
Q



1
sin .
N
i
i
i
Yc
A
Q



(4.16) 
Численное определения коэффициентов 
A
i
можно выполнить 
лишь по известным значениям 
m
i
, 
S
i
, 
L
i
. 
4.2.3. Момент инерции звеньев тела
и биомеханической системы 
Одним из фундаментальных понятий в теории вращения тел 
является момент инерции, характеризующий инертность тела. Как 
известно из курса теоретической механики, инертностью тела 
называется его свойство сопротивляться изменению скорости. 
В поступательных движениях инертность тела определяется его 
массой: чем больше масса, тем большая сила требуется для выве-
дения его из состояния покоя и тем труднее его затормозить. 
Во вращательных движениях инертность тела определяется его мо-

---

100
ментом инерции. Следовательно, момент инерции во вращательных 
движениях является аналогом массы в поступательных движениях. 
Момент инерции сегментов тела человека дает представление о 
распределении массы сегмента относительно заданной оси и чис-
ленно равен сумме произведений масс всех материальных точек на 
квадраты их расстояний до оси вращения 
2
1
,
N
i i
i
Jo
m r



(4.17) 
где 
Jo – момент инерции тела относительно заданной оси Oz; m
i
– 
масса 
i-й материальной точки; r
i
– расстояние от 
i-й материальной 
точки до оси вращения. Геометрическое представление выражения 
(4.17) в определенной степени проиллюстрировано на рис. 4.8. 
Y
m
m
m
m
m
m
r
r
r
r
r
1
2
2
3
4
5
6
1
3
4
5
6
О
Х
r
Рис. 4.8. Момент инерции стержня 
Если разбить стержень на шесть частей (рис. 4.8), то его момент 
инерции относительно оси 
Oz, перпендикулярной плоскости чер-
тежа и проходящей через начало декартовой системы координат 
Oxyz, в соответствии с (4.17) равен 
Jo = m
1 
r
1 
2 
+ 
m
2 
r
2 
2 
+ m
3 
r
3 
2 
+ 
m
4 
r
4 
2 
+ 
m
5 
r
5 
2 
+ 
m
6 
r
6
2
. (4.18) 

---

101
Момент инерции относительно оси вращения, проходящей че-
рез центр масс тела, называется центральным. Например, цен-
тральный момент инерции стержня определяется из выражения 
2
.
12
mL
Jc

(4.19) 
Здесь Jc – центральный момент инерции; m – масса стержня; L – 
длина стержня. 
И теория и практика биомеханических исследований убеждают, 
что сегменты тела человека можно лишь с большим приближени-
ем аппроксимировать стержнями, и определение центрального 
момента инерции сегментов тела человека по формулам (4.18), 
(4.19) ведет к значительным погрешностям. Более точным являет-
ся метод аппроксимации звеньев тела и сегментов различными 
геометрическими фигурами. Представляя части тела человека в 
виде тел геометрически правильной формы с равномерно распре-
деленной массой, вычисляют по соответствующим формулам их 
масс-инерционные характеристики. К примеру, аппроксимируя 
звенья тела и сегменты усеченными конусами, а в ряде случаев 
принимая их за параболоиды вращения, определяют момент инер-
ции сегментов тела человека по табличным данным М.Ф. Фавори-
на (1977), которые позволяют, зная отношение радиусов конуса и 
его высоту, выразить искомые величины посредством введения 
соответствующих коэффициентов в расчетные формулы. 
В настоящее время наиболее точным из существующих методов 
определения геометрии масс тела человека является радиоизотопный 
метод: его погрешность не превышает 3% (Зациорский В.М., Ару-
ин А.С., Селуянов В.Н., 1981). В результате выполненных исследова-
ний авторами разработанного метода были определены коэффициен-
ты (В
i
) уравнений множественной регрессии вида 
Y = В
0
+ B
1
X
1
+ B
2
X
2
, (4.20) 
позволяющие вычислять центральные моменты инерции сегмен-
тов тела по весу (X
1
) и длине (X
2
) тела. Коэффициенты B
i
, исполь-
зуемые в уравнениях множественной регрессии для вычисления 

---

102
центрального момента инерции сегментов тела человека, приведе-
ны в табл. 4.4.
Т а б л и ц а 4.4