Физических упражнений

Координаты Х
i
 плечевого сустава по оси Ох и вычисленные 
значения линейной скорости 
i
X
 и линейного ускорения 
i
X
 
 
№ 
ка-
дра 
(i) 
X
i
, м 
)
(
1
1



i
i
X
X
, м 
)
2
(
1
1




i
i
i
X
X
X
, м 
i
X
, м/с
i
X
, 
м/с
2
1 0,259 
2 0,268 
0,275–0,259 
= 
0,016 0,259–2·0,268+0,275 = –0,002 0,2000 –1,25 
3 0,275 
0,291–0,268 
= 
0,023 0,268–2·0,275+0,291 = 0,009 0,2875 5,625 
4 0,291 
0,298–0,275 
= 
0,023 0,275–2·0,291+0,298 = –0,009 0,2875 –5,62 
5 0,298 
0,312–0,291 
= 
0,021 0,291–2·0,298+0,312 = 0,007 0,2625 4,375 
6 0,312 
0,325–0,298 
= 
0,027 0,298–2·0,312+0,325 = –0,001 0,3375 –0,62 
7 0,325 
0,338–0,312 
= 
0,026 0,312–2·0,325+0,338 = 0,000 0,3250 0,000 
8 0,338 
0,349–0,325 
= 
0,024 0,325–2·0,338+0,349 = –0,002 0,3000 –1,25 
9 0,349 
0,360–0,338 
= 
0,022 0,338–2·0,349+0,360 = 0,000 0,2750 0,000 
10 0,360 0,368–0,349 
= 
0,019 0,349–2·0,360+0,368 = –0,003 0,2375 –1,87 
11 0,368 
Во второй колонке таблицы представлены координаты плечево-
го сустава X
i
по оси О
X
, соответствующие i-му номеру видеокадра. 
Частота захвата видеокадра при записи в память компьютера со-
ставляла 25 кадров в секунду. Отсюда следует, что h равнялось 
0,04 с. Вычисления для первой и последней точки траектории не 
выполнялись. 
Линейную скорость суставов звеньев тела можно определить из 
уравнений координат суставов (4.31), продифференцировав их по 
времени. В этом случае необходимо учесть, что дифференцируе-
мая функция – сложная функция. Получим следующие выражения 
для определения линейной скорости дистального шарнира
i-го звена: 
1
sin
i
i
j
j
j
j
X
L Q
Q

 



;
1
cos
i
i
j
j
j
j
Y
L Q
Q





. (4.42) 
Для определения линейного ускорения осей шарниров рассмат-
риваемой модели опорно-двигательного аппарата тела человека 

---

122
необходимо найти вторую производную по времени от значений 
координат осей шарниров. Первая производная дает выражения 
(4.42), определяющие линейную скорость осей шарниров в прямо-
угольной системе координат. Их последующее дифференцирова-
ние по времени даст вторую производную или линейное ускорение 
шарниров. Обозначим, как это и принято в механике, вторую про-
изводную через исходную функцию с двумя точками над ней. Для 
N-звенной модели формулы, определяющие линейное ускорение 
оси дистального шарнира i-го звена, будут иметь вид 
2
1
1
sin
cos
i
i
i
j
j
j
j
j
j
j
j
X
L Q
Q
L Q
Q










; 
2
1
1
cos
sin
i
i
i
j
j
j
j
j
j
j
j
Y
L Q
Q
L Q
Q









.
(4.43) 
Следовательно, для вычисления значений линейного ускорения 
суставов звеньев тела спортсмена по материалам оптической реги-
страции движений достаточно знать длины звеньев тела и обоб-
щенные координаты, а затем, вычислив первые и вторые произ-
водные от обобщенных координат по времени, определить иско-
мые величины. 
Угловая скорость и ускорение звеньев тела 
Первая и вторая производная от обобщенных координат (углы 
наклона звеньев биомеханической системы к оси Ох) по времени, 
заданных в табличном виде, определяются из симметричных ко-
нечно-разностных отношений 
1
1
,
2
i
i
i
h


  
 

1
1
2
2
,
i
i
i
i
h


    
 

(4.44) 
где 
i
 , 
i
 – приближенные значения первой и второй производной 
от обобщенных координат 
i

по времени в момент времени t = t
i
, 
i – номер кинокадра. 

---

123
Учитывая, что в механике угловая скорость измеряется в рад/с, 
формулы для определения угловой скорости и ускорения звеньев 
тела на основании равенств (4.44) примут вид 


1
1
,
360
i
i
i
h


   
 



1
1
2
2
.
180
i
i
i
i
h


     
 

(4.45) 
Здесь π – символ числа «пи». 
Есть смысл более популярно объяснить смысл значения радиан. 
Начнем с того, что в окружности 360°. И в то же время это 2π ра-
диан. Следовательно, в грубом приближении можно сказать, что 
1 радиан равен примерно 60°, так как 360°, деленное на 2π, равно 
360/6,28..., или ≈ 60°. 
Поэтому если, допустим, за одну секунду произошло перемеще-
ние, к примеру, ног на 120°, то угловая скорость ног составляет 2 ра-
диана в секунду. Если за одну секунду совершается поворот на 360°, 
то угловая скорость ног равна 6,28... радиан в секунду. При повороте 
на 180°, угловая скорость равна примерно 3 радианам в секунду. 
Для первой и конечной точек траектории угловая скорость и 
угловое ускорение звеньев тела спортсмена вычисляются по фор-
мулам Милна.