Физических упражнений

Знаки X, Y в квадранте 
1 + + 
2 – + 
3 – – 
4 + – 
Рис. 4.12. Контравариантные 
координаты точки 
Для точки К контравариантными координатами являются дли-
ны проекций отрезка КО, которые получаются при проектирова-

---

111
нии на координатные оси прямыми параллельными осям избран-
ной системы координат. Координатам точки приписывается знак 
«плюс» или «минус» в зависимости от того, лежит ли проекция 
точки на положительной или отрицательной части координатной 
оси. Зависимость знака координат точки от номера квадранта, в 
котором расположена эта точка, показана в табл. 4.5. 
Таким образом, каждой точке плоскости можно поставить в со-
ответствие пару чисел – координат этой точки относительно за-
данной координатной системы. Положение точки К с абсциссой 
Кх и ординатой Ky сокращенно записывается в виде K(x, у). 
Положение точки на плоскости можно задать и другими спосо-
бами, например с помощью полярных координат (рис. 4.13). 
В этом случае полярные координаты точки К определяются по-
лярным радиусом R (или расстоянием от К до полюса 0) и поляр-
ным углом Q между полярной осью и лучом, соединяющим полюс 
с точкой К. 
Рис. 4.13. Полярные координаты точки 
Положение точки К в полярных координатах записывается в 
виде K(R,Q). При отсчете полярного угла от полярной оси против 
движения часовой стрелки полярный угол считается положитель-
ным и отрицательным при отсчете в противоположном направле-
нии. Положительное направление полярного угла указано на 
рис. 4.13 стрелкой по окружности полярного радиуса. Таким обра-
зом, для единственного определения положения точки на плоско-
сти в полярных координатах необходимо задать пару чисел: вели-
чина полярного угла и полярного радиуса. 

---

112
Между положением точки, заданной в декартовых и полярных 
координатах, существуют определенные соотношения, следующие 
из простых геометрических построений и определения тригоно-
метрических функций. Пусть полярная ось полярной системы ко-
ординат совпадает с осью абсцисс декартовой системы координат, 
а полюс – с началом декартовой системы. Тогда точка K, имеющая 
в этих двух системах координаты K(R, Q) и K(x, у), будет иметь в 
другой системе следующие координаты. 
В декартовой системе координат 
X = R cosQ, Y = R sinQ. (4.29) 
Знаки координат точки K по оси абсцисс и оси ординат, соот-
ветствующие ее положению в определенном квадранте, учитыва-
ются знаком тригонометрических функций. 
По заданным же значениям координат точки K в декартовой си-
стеме координат решается обратная задача по формулам (4.30): 
вычисляется полярный радиус и полярный угол точки. 
В полярной системе координат: 
2
2
90 ,
если
0,
0;
270 ,
если
0,
0;
,
180
arctg ( / ) , если
0;
360
arctg ( / ) , если
0,
0;
arctg ( / ) ,
если
0,
0.
x
y
x
y
R
x
y
Q
y x
x
y x
x
y
y x
x
y























(4.30) 
На теле отсчета устанавливают начало и направление измере-
ния расстояния (см. рис. 4.14), выбирают единицы отсчета (систе-