Физических упражнений

Y
2
, Y
3
– по оси Оу. Расстояния от начала системы координат, по-
мещенной в точку опоры, до центра масс первого, второго и треть-
его звеньев обозначим через r
1
, r
2
, r
3
. В этом случае момент инер-
ции рассматриваемой трехзвенной системы относительно оси Oz, 
проходящей через начало системы координат Oxyz перпендику-
лярно плоскости рис. 4.10, согласно (4.19), (4.22), определяется из 
выражения 
Jo = J
1 
+ m
1
r
1
2
+ J
2
+ m
2
r
2
2
+ J
3
+ m
3
r
3
2
. (4.25) 
Так как 
r
1
2
= X
1
2
+ Y
1
2
, r
2
2
= Х
2
2
+ Y
2
2
, r
3
2
= Х
3
2
+ Y
3
2
,
а координаты центра масс звеньев (X
i
, Y
i
) выражаются, в свою оче-
редь, через длины звеньев тела L
i
, обобщенные координаты Q
i
и 
положение центра масс звеньев относительно оси шарниров S
i
, то, 
соответственно, имеем 
r
1
2
= S
1
2
cos
2
Q
1
+ S
1
2
sin
2
Q
1
; 
r
2
2
= L
1
2
cos
2
Q
1
+ 2L
1
S
2
cosQ
l 
cos Q
2
+ S
2
2
cos
2
Q
2
+ 
+ L
1
2
sin
2
Q
1
+ 2L
1 
S
2 
sinQ
1
sinQ
2
+ S
2
2
sin
2
Q
2
; 
r
3
2
= L
1
2 
cos
2
Q
1
+ L
2
2
cos
2
Q
2 
+ S
3
2
cos
2
Q
3
+ 
+ 2L
1
L
2
cosQ
l
cosQ
2
+ 2L
1
S
3
cosQ
l
cosQ
3
+ 2L
2
S
3
cosQ
2
cosQ
3
+ 
+ L
1
2
sin
2
Q
1
+ L
2
2
sin
2
Q
2
+ S
3
2
sin
2
Q
3
+ 
+ 2L
1
L
2
sinQ
1
sinQ
2
+ 2L
1
S
3
sinQ
1
sinQ
3
+ 2L
2
S
3
sinQ
2
sinQ
3
. 
Выполнив соответствующие преобразования, получим 
r
1
2
= S
1
2
;
r
2
2
= L
1
2 
+ 2L
1
S
2
cos(Q
2
–Q
1
) + S
2
2
; 
r
3
2
= L
1
2
+ L
2
2
+ S
3
2
+ 2L
1
L
2
cos(Q
2
–Q
1
) + 2L
1
S
3
cos(Q
3
–Q
1
) +
+ 2L
2
S
3
cos(Q
3
–Q
2
). 

---

107
Подставляя полученные значения r
i
в уравнения (63), получим 
соотношение вида 
Jo = A
11
+ А
22
+ А
33
+ 
+ 2A
12
cos(Q
2
–Q
1
) + 2A
13
cos(Q
3
–Q
1
) + 2А
23 
соs(Q
3
–Q
2
), (4.26) 
где коэффициенты A
ij
равны 
А
11
= J
1 
+ m
1
S
1
2
+ L
1
2 
(m
2 
+ m
3
);
A
12
= L
1
(m
2
S
2 
+ m
3 
L
2
);
A
13
= m
3
S
3
L
1
; (4.27) 
A
22
= J
2 
+ m
2
S
2
2
+ m
3 
L
2
2
;
A
23
= m
3
S
3
L
2
;
А
33
= J
3
+ m
3
S
3
2
. 
Таким образом, момент инерции биомеханической системы от-
носительно оси, проходящей через точку опоры перпендикулярно 
плоскости движения, определяется динамическими характеристи-
ками звеньев тела A
ij
и обобщенными координатами системы. 
Уравнение (4.26) позволяет, при известных значениях коэффици-
ентов A
ij
и заданных значениях обобщенных координат, опреде-
лить Jo для трехзвенной биомеханической системы любой конфи-
гурации. 
Аналитическое выражение момента инерции для N-звенной 
биомеханической системы построим при условии введения в фор-
мульную запись для коэффициентов А
ij
символа Кронекера:
1, если 
,
0, если 
.
i j
i
j
i
j


  


Здесь i, j – буквенные индексы, соответствующие цифровым ин-
дексам коэффициентов A
ij
. Используя символ Кронекера, можно 
записать представление коэффициентов A
ij
для N-звенной биоме-
ханической системы в виде 
2
1
(
)
(1
)
,
N
ij
ij
i
i i
j i
j
ij
k i
j
k j
A
J
m S
m L S
m L L
 
 


  

i = l, 2, 3, ..., N;  j = 1, 2, 3, ..., N; если i > j, то A
ij
= A
ji
. (4.28) 

---

108
При вычислении элементов квадратной матрицы по коэффициен-
там A
ij
, необходимо учесть, что рассматриваемая матрица симмет-
рична относительно главной диагонали. Поэтому ее симметричные 
элементы будут равны, т.е. при j>i коэффициенты A
ji
= A
ij
. Представ-
ление коэффициентов A
ij
в форме (4.28) делает быстрой и легкодо-
ступной развернутую запись элементов A
ij
с любыми значениями ин-
дексов и позволяет автоматизировать процесс их формирования на 
компьютере, задав исходные данные по массивам: J, m, L, S.
Непосредственное их определение тем способом, который был 
выполнен на примере трехзвенной модели, сопровождается про-
должительными вычислениями, громоздкими записями, а в конеч-
ном итоге и техническими погрешностями. 
Одним из факторов, определяющих биомеханику полетной ча-
сти упражнений, является центральный момент инерции биомеха-
нической системы – момент инерции относительно оси, проходя-
щей через общий центр масс системы. В частности, в спортивной 
гимнастике при выполнении соскоков желательно дать количе-
ственную оценку центральному моменту инерции в момент потери 
спортсменом контакта со снарядом. 
4.3. Кинематические характеристики движения 
С помощью кинематических характеристик упражнений дается 
качественная и количественная оценки пространственных и времен-
ных показателей техники соревновательных упражнений. Так как с 
их помощью описывается только внешняя картина движения, то их 
использование позволяет оценить рациональность организации про-
странственной и временной структуры движения. Кинематические 
характеристики
движения состоят из трех больших групп: 
1. Пространственные характеристики. 
2. Временные характеристики. 
3. Пространственно-временные характеристики. 
Каждая группа кинематических характеристик включает в себя 
еще несколько относящихся к ней биомеханических характеристик 
(см. рис. 4.11). 

---

109
Кинематические характеристики
Пространственные
Координаты точки
Координаты тела
Перемещение
Амплитуда
Временные
Момент времени
начала и окончания
выполнения движения
Длительность
выполнения движения
Момент времени
начала и окончания
какой-либо части
упражнения
Длительность выпол-
нения какой-либо
части упражнения
Пространственно-
временные
Линейная скорость
точки
Угловая скорость
сегмента (звена)
Линейное ускорение
точки
Траектория
Координаты тел
Темп
Ритм
Угловое ускорение
сегмента (звена)
Рис. 4.11. Классификация кинематических характеристик
двигательных действий
4.3.1. Пространственные характеристики 
 
Пространственные характеристики движений включают в се-
бя следующие кинематические показатели: 
1) координаты точки; 
2) координаты тела; 
3) координаты системы тел; 
4) перемещение; 
5) амплитуда; 
6) траектория. 

---

110
Общеизвестно, что в любом из механических законов, содер-
жащих в явном или неявном виде пространственные и временные 
соотношения, находит свое отражение эволюция изучаемого объ-
екта в пространстве и во времени. Поэтому для описания движе-
ния необходимо уметь определять положение объекта в простран-
стве и во времени, тем самым оценивая механическое состояние 
тела в любой момент времени. 
Для определения положения тела и системы тел в пространстве 
необходимо выбрать тело отсчета, относительно которого рас-
сматривается перемещение спортсмена. В качестве тела отсчета 
выбирают неподвижные относительно Земли тела (дорожка, лыж-
ня, гимнастические снаряды, оконный проем спортивного зала и 
т.п.). Обычно с телом отсчета связывают выбранную систему ко-
ординат, с помощью которой определяется положение тела в про-
странстве. 
Положение точки на плоскости в прямоугольной системе коор-
динат определяется так называемыми контравариантными коорди-
натами (рис. 4.12, табл. 4.5). 
Т а б л и ц а 4.5