Физических упражнений

ма отсчета – например, прямоугольная система декартовых ко-
ординат).
Точка пересечения взаимно перпендикулярных координатных 
осей О является началом системы отсчета (начало координат). Си-
стема принятых координат жестко связывается с телом отсчета, и в 
системе координат определяются различные кинематические ха-
рактеристики изучаемого движения, начиная с координат точки, 
координат тела и координат системы тел. 

---

113
Чтобы определить положение заданной точки тела С относи-
тельно начала системы координат, определяют ее проекции (Х
С
, 
Y
С
) на оси координат. Расстояния (O
Xc
, O
Yc
) от начала системы ко-
ординат до проекций этой точки на оси координат определяют по-
ложение данной точки С в данной системе отсчета O
XY
. 
Рис. 4.14. Координаты точки, тела, системы тел 
Для определения положения тела необходимо определить: 
1. Координаты двух точек (С, А) тела. 
2. Координаты одной точки С и угол 

между точками (С, А) и 
осью Оx. 
Какой из этих способов предпочтительнее определяется содер-
жанием решаемой задачи? 
Координаты системы тел, в частности биомеханической си-
стемы определяются на основе двух параметров: длины сегмента 
L
i
и угла 
i

наклона сегмента (звена) к оси Оx. Например, для не-
разветвленной трехзвенной биомеханической системы формуль-
ные выражения координат плечевых (X
1
, Y
1
), тазобедренных (X
2
, 
Y
2
) и голеностопных (X
3
, Y
3
) суставов имеют вид 
X
1
 = L
1 
cos
1

, Y
1
 = L
1
 sin
1

; 
X
2
 = L
1 
cos
1

 + L
2 
cos
2

, Y
2
 = L
1
 sin
1

 + L
2
 sin
2

; 
X
3
 = L
1 
cos
1

 + L
2 
cos
2

 + L
3 
cos
3

,
Y
3
 = L
1
 sin
1

 + L
2
 sin
2

 + L
3
 sin
3

. 

---

114
Таким образом, координаты суставов, центра масс сегмента 
биомеханической системы можно определять по длине сегмента 
(звена) и углу наклона сегмента (звена) к оси Оx. Для многозвен-
ной (N-звенной) неразветвленной биомеханической системы в 
условиях опоры вычислительный алгоритм координат суставов по 
осям декартовой системы координат имеет вид 
1
cos
i
i
j
j
j
Xo
L
Q



; 
1
sin
i
i
j
j
j
Yo
L
Q



; (4.31) 
i = l, 2, 3, ... , N. 
Здесь Xo
i
– координата дистального шарнира для i-го звена по оси Ох; 
Yo
i
– координата дистального шарнира для i-го звена по оси Оу. 
Координаты центра масс звеньев тела человека и суставов 
определяются по вышерассмотренной методике. Для этого вос-
пользуемся произволом в выборе расположения начала подвиж-
ных систем координат и поместим их в центр масс звеньев модели. 
Из уравнений связи получим уже знакомые нам формулы по опре-
делению координат центра масс звеньев тела человека: 
Xc
1
 = S
1
cosQ
1
; 
Yc
1
 = S
1
sin Q
1
; 
Xc
2
 = L
1
cosQ
1
 + S
2
cosQ
2
; 
Yc
2
 = L
1
sin Q
1
 + S
2 
sinQ
2
; 
Хc
3
 = L
1
cosQ
1
 + L
2
cosQ
2
 + S
3
 cosQ
3
; 
Уc
3
 = L
1
sin Q
1
 + L
2 
sinQ
2
 + S
2 
sin Q
3
,
(4.32) 
а для N-звенной модели имеем 
1
1
cos
cos
i
i
i
i
j
j
j
Xc
S
Q
L
Q





;
1
1
sin
sin
i
i
i
i
j
j
j
Yc
S
Q
L
Q





; 
i = l, 2, 3, ... , N. (4.33) 
Здесь i – номер звена модели; Xc
i
– координата центра масс i-го 
звена по оси абсцисс; Yc
i
– координата центра масс i-го звена по 
оси ординат; N – количество звеньев модели. Отсюда следует, что 

---

115
положение центра масс звеньев модели вполне определено, если 
обобщенные координаты заданы в виде углов, образуемых кине-
матическими звеньями с осью абсцисс (рис. 4.15). 
 
Рис. 4.15. Линейное и угловое перемещение 
 
Перемещение – это разность координат между конечным и 
начальным положением. 
Различают линейное и угловое перемещение. Пусть трехзвен-
ная биомеханическая система переместилась из начального поло-
жения (рис. 4.15, 1) в конечное положение (рис. 4.15, 2). 
Линейное перемещение третьего сустава (голеностопный) по 
осям Оx и Oy выразится формулами 

X = X
2
– X
1
,

Y = Y
2
– Y
1
. 
Здесь следует обратить внимание на знаки перемещения: поло-
жительное или отрицательное перемещение. Если перемещение 
совершалось в положительном направлении числовой оси, знак 
перемещения ∆X – положительный. Если перемещение происхо-
дило против положительного направления числовой оси, знак пе-
ремещения ∆Y – отрицательный. 
Угловое перемещение первого звена (рис. 4.15) определяется из 
выражения 
 
= 
2

– 
1

. 

---

116
Здесь также следует обратить внимание на знаки углового пе-
ремещения: положительное или отрицательное. Если вращение 
звена происходило по направлению движения часовой стрелки, 
знак перемещения для ∆φ будет отрицательным, если против часо-
вой стрелки – положительный.
Амплитуда – это размах движения. Различают амплитуду дви-
жения звеньев тела и амплитуду сгибательно-разгибательных 
движений спортсмена в суставах.
Траектория – это геометрическое место положений точки в 
рассматриваемой системе отсчета.