Физических упражнений

4.3.3. Пространственно-временные характеристики 
К пространственно-временным характеристикам относятся: 
1. Скорость (линейная и угловая). 
2. Ускорение (линейное и угловое). 
Скорость характеризует быстроту изменения положения дви-
жущегося тела. Скорость V определяется отношением пройденно-
го пути ∆S к затраченному времени ∆t: 

---

118
V
S
t



. 
Как линейная, так и угловая скорость может быть и положи-
тельной величиной, и отрицательной. Знак скорости зависит от 
знака 

S
. 
Ускорение
характеризует быстроту изменения скорости по ве-
личине и направлению. Ускорение a определяется отношением 
изменения скорости ∆V к затраченному на него времени ∆t. 
a
V
t



. 
Ускорение – величина векторная. Ускорение точки положи-
тельное, если скорость увеличивается. Ускорение точки отрица-
тельное, если скорость уменьшается. В локальных точках макси-
мума и минимума скорости ускорение равно нулю. 
Определение линейной скорости и ускорения точки
по материалам оптической регистрации движений 
Для определения линейной скорости звеньев тела необходи-
мо продифференцировать функцию, которая определяет траекто-
рию рассматриваемой точки звена. Данная функция в виде число-
вой последовательности координат точки является результатом 
инструментальных измерений и задана табличным способом. 
Каждому номеру кинокадра соответствует определенное значение 
времени и линейных координат точки по осям Ох, Оу декартовой 
системы координат Оху. Следовательно, линейные координаты 
биомеханической системы в процессе выполнения физических 
упражнений изменяются по определенному закону, но эта зависи-
мость задана не в аналитической форме, а в табличном виде 
(рис. 4.16), и к ней нельзя применить прием аналитического 
нахождения производной. В этом случае для определения средней 
скорости изменения функции на некотором интервале времени 

---

119
можно воспользоваться любым из методов численного дифферен-
цирования. 
Рис. 4.16. Узлы (t
i
) и значения (X
i
) табулируемой функции 
Метод конечных разностей по трем ординатам является од-
ним из наиболее легко алгоритмизируемых вариантов численного 
дифференцирования и привлекает своей простотой и доступно-
стью для программирования на компьютере. Технология исполь-
зования этого метода в биомеханическом исследовании кинемати-
ки упражнений, на последнем этапе которого используется ком-
пьютер, заключается в следующем. 
В результате выполнения промера исследуемого упражнения 
и считывания линейных координат точки составляется таблица, в 
которую заносятся линейные координаты точки соответственно 
каждому номеру кинокадра. В качестве аргумента функций линей-
ных координат рассматривается время, которое вычисляется по 
данным частоты киносъемки. К примеру, киносъемка проводилась 
с частотой K кадров в секунду. Тогда временной интервал между 
двумя ближайшими кинокадрами ∆t)равен 
∆t = 
l/K. (4.37) 
Для рассматриваемых табулируемых величин функции значе-
ния аргумента в таблице, называемые узлами, образуют арифме-

---

120
тическую прогрессию, разность которой h называется шагом таб-
лицы (см. рис. 4.16). 
h = ∆t = t
i +1
 – t
i
, i = 0,2, 3, ..., n–1. (4.38) 
Первая и вторая производные линейных координат по времени, 
заданных в табличном виде, для каждого i-го номера кинокадра 
определяются из симметричных конечно-разностных отношений 
по значениям функции X
i–1
, X
i
, X
i+1
: 
h
X
X
X
i
i
i
2
)
(
1
1





,
2
1
1
)
2
(
h
X
X
X
X
i
i
i
i







. (4.39) 
Здесь 
i
X
, 
i
X

– приближенные значения первой и второй произ-
водных линейных координат точки по оси Ох в момент времени 
t = t
i
, i – номер кинокадра, h – интервал времени между двумя 
ближайшими кинокадрами, определяемый как l/K, где K – частота 
киносъемки. 
Так как для первого (1) и последнего (n) кадра определить ли-
нейную скорость и ускорение, используя формулы (4.39), невоз-
можно, то в этом случае можно применить формулы Милна 
3
2
1
1
(
4
3 )
2
X
X
X
X
h





, 
2
2
1
)
4
3
(
h
X
X
X
X
n
n
n
n






. (4.40) 
3
2
1
1
(
4
3
)
2
X
X
X
X
h








,
2
2
1
)
4
3
(
h
X
X
X
X
n
n
n
n









. (4.41) 
Первая и вторая производные линейных координат по времени 
для произвольной точки по оси Оу, заданных в табличном виде, 
определяются аналогичным образом.
Например, допустим, что в результате считывания координат 
плечевого сустава по промеру упражнения была получена таблица 
(см. табл. 4.6). Исследуемое упражнение – большой оборот назад 
на перекладине. 

---

121
Т а б л и ц а 4.6