Fizika – Matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi talabasi Mirzabekoba Dilafruzning Algebra va sonlar nazarityasi fanidan tayyorlagan

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

15 
 
Bir jinsli tenglamalar sistemasining fundamental yechimlari 
Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yechimlari to’plami V arifmetik 
fazoning biror W qism fazosini tashkil etadi. 1-ta’rif W qism fazoning bazisini 
tashkil etuvchi istalgan vektorlar sistemasi (1) sistemaning fundamental yechimlari 
sistemasi deyiladi. 
Bazis vektorlar sistemasining ta’rifiga asosan Sistema (1) ning fundamental 
yechimlar sistemasi bo’lishi uchun quyidagi shartlarni basharishi kerak; (2) sistema 
chiziqli erkin bo’ladi. (1) sistemaning ixtiyoriy yechimi (2) orqali chiziqli ifodala-
nadi. Biror arifmetik fazoning bazisini tashkil etuvchi sistemalar cheksiz ko’p 
bo’lsa, ularning har biridagi vektorlar soni o’zaro teng. Bundan foydalanib, (1) 
sistemaning ixtiyoriy yechimini ( deb belgilasak) (3) Shaklda ifodalash mumkin. 
Bu yerda ) bo’lgani uchun (3) yechim (1) sistemaning umumiy yechimlari siste-
masini toppish uchun (1) sistemani: (1’) Ko’rinishida yozib olib, unga Gauss usu-
lini tatbiq etamiz. Bir jinsli sistema doim hamjoyli bo’lgani tufayli bir necha marta 
elementar almashtirishlarni bajargandan so’ng (1’) sistema o’ziga ekvivalent 
bo’lgan: (4) Ko’rinishidagi sistemaga keladi. Bunda va (4) dagi tenglamalar soni r 
noma’lumlar soni n dan kichik. Aks holda (4) sistema nolmas yechimlarga 
egabo’lmas edi. (4) sistema r ta tenglama va (n-r) ta noma’lumlardan iborat. Shu 
tufayli larni ozod noma’lumlar deb, ularga istalgan sonly ( kamida bittasi noldan 
farqli) qiymatlarni bera olamiz. Faraz qilaylik, bo’sin. Unda (4) sistemadan
ketma-ketlikda barcha noma’lumlarga mos sonli qiymatlarni topa olamiz. Para-
metrlarning yuqoridagi qiymatlariga mos keluvchi (1’) sistemaning yechimi 
bo’ladi. Endideymiz. Unda yana (4) sistemadan larga mos keluvchi qandaydir son-
larni topamiz. Natijada (4) sistemaning ikkinchi yechimini topamiz. Shun-
day davom ettirib, (n-r) ta qadamdan so’ng (4) sistemaning: (5) Yechimlarini to-
pamiz. Endi (5) yechimlasistemasi (1’) ning fundamental yechimlar sistemasini 
tashkil etishini ko’rsatamiz. Darxaqiqat: 1) (5) yechimlar sistemasini o’zaro 
chiziqli bog’lanmagan, chunki bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan matritsa 
chiziqli bog’lanmagan. A=(n-r) ta satr va (n-r) tau stun mavjud. 2)endi (1’) ning 

---

16 
istalgan yechimining (5) orqali chiziqli Ifodalanishini ko’rsatamiz. Quyidagi 
vektorni olamiz: (6) vektorlar (1’) sistemaning yechimlari bo’lgani tufayli ularning 
istalgan chiziqli kombinatsiyasi ham (1’) ning yechimi bo’ladi. (6) tenglik bilan 
aniqlanuvchi vector ham yechimi bo’ladi. (5) belgilashlarga asosan vektorning 
ohirgi r+1, r+2, …. , n koordinatalari mos ravishda larga teng. Chunki
bo’lganidan vektorning n-koordinatasi ga teng. vektorlarning r+1, r+2, … n- 
koordinatalari ustma ust tushar ekan. Bunday holda ham yechim bo’lishi ma’lum. 
Agar (4) sistemadagi larni nollar bilan almashtirsak, u holda bo’lgani uchun =0
bo’ladi. Demak, yoki bo’lib, ixtiyoriy olingan vekttham yechimlarning chiziqli 
kombinatsiyasidan iborat bo’ladi. (5) sistema (1’) tenglamalar sistemasining fun-
damental 
yechimlar 
sistemasini 
tashkil 
etadi. 
(5)sistemadagi yechimlar soni (n-r) ta bo’lganidan (1’) sistema fundamental 
yechimlar sistemasidagi yechimlarni ham (n-r) ta vektorlardan iborat. 
1-natija Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasing fundamental yechimlari siste-
masida yechimlari soni bilan sistema matritsasi rangining ayirmasiga teng. 
2-natija n ta noma’lumli m ta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining yechim-
lari 
to’plami 
n-r 
o’lchovli 
vektorlar 
fazosini 
tashkil 
etadi. 
Bir jinsli sistemaing fundamental yechimlari soni p=n-r gat eng bo’lganidan hamda 
bir jinsli sistemaning istalgan yechimlarining chiziqli kombinatsiyasi ana shu 
sistemaning yechimi ekanligidan mazkur yechimlar sistemasi qandaydir vektorlar 
fazosini tashkil etadi. Vektorlar fazosidagi chiziqli bog’lanmagan vektorlarning 
maksimal soni (fundamental techimlarni tashkil etuvchi vektorlar soni) n-r bo’lgani 
uchun bu fazo n-r o’lchovlidir. Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini sonly 
yechish usullari Oddiy iteratsiya usuli Faraz qilaylik Ax=B (1) Chiziqli tenglama-
lar tizimi biror usul bilan X=Bx+c (2) Ko’rinishiga keltirilgan bo’lsin va dastlabki 
yaqinlashish vektori topilgan bo’lsin. Agar keying yaqinlashishlar k=1,2,…. (3) 
Rekkurent formula yordamida topilsa, bunday metod oddiy iteratsiya metodi 
deyiladi. Agar (3) ketma-ketlikning limiti mavjud bo’lsa, bu limit (1) tizimning 
yechimi deyiladi. Haqiqatdan (3) ta limitga o’tsak, kelib chiqadi. Oddiy iter-
atsiyametodining yaqinlashish shartini keltiramiz: Teorema 1. (3) oddiy iteratsiya 

---

17 
jarayonida ixtiyoriy da yaqinlashuvchi bo’lishi uchun B matritsaning barcha xos 
sonlari modullari bo’yicha birdan kichik bo’lishi zarur va yetarli. 
Bu teorema nazariy jihatdan foydali, lekin amaliy ishlar uchun yaramaydi. Shuning 
uchun B matritsaning elementlari orqali ifodalanadigani yetarli shartlarni 
keltiramz. Teorema 2. (3) oddiy iteratsiya jarayonining yaqinlashuvchi bo’lishi 
uchun B matritsaning biror nrmasi 1 dan kichik bo’lishi zarur va yetarli. Ushbu 
teorema yetarli shartni quyidagicha ifodalaydi: (3)oddiy iteratsiya metodi 
yaqinlashuvchi 
bo’lishi 
uchun 
B 
matritsaning 
elementlari 
quyidagi 
Tengsizliklarning birortasini qanoatlantirishi yetarli. Endi (1) ni (2) ko’rinishga 
keltirilishni ko’ramiz: Birortasini bajarsa, B matritsa quyidagicha bo’ladi: B= 
Bo’lib, mos ravishda (4)-(6) tengsizliklar B matritsa uchun bajariladi va (3) oddiy 
iteratsiya jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi. b) A matritsa uchun (7)-(9) 
tengsizliklarning hech qaysisi bajarilmasa u holda (1) tenglamalar sistemasi 
shunday chiziqli almashtirish bajarish kerakki, hosil bo’lgan yangi tenglamalar 
tizimining koeffitsientlari uchun (7)-(9) tengsizliklarning birortasi o’rinli bo’lishi 
kerak.