Функциональные ряды и нахождение области сходимости. Степенные ряды. Радиус сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

такая, что для всех x X выполняется неравенство

| fn(x) - f(x)| < n,

((3)

то последовательность { f_n(x)} равномерно сходится к функции f(x) на множестве X.
Действительно, поскольку неравенство (31.9) выполняется для всех x X, то
| f_n(x) - f(x)| < _n,
а поэтому из условия _n = 0 получаем, что
| f_n(x) - f(x)| = 0.
Замечание 1. Очевидно, что из определения равномерной сходимости последовательности функций следует, что если какие-то последовательности равномерно сходятся на некотором множестве, то и любая их конечная линейная комбинация равномерно сходится на этом множестве.

Примеры.

1. Пусть f_n(x) = xⁿ, n = 1, 2, ..., X = [0,q], 0 < q < 1. Предел f_n(x), x [0,q], существует и равен нулю:
f(x) f_n(x) = 0.
Так как xⁿ = qⁿ, то
xⁿ = qⁿ = 0.
Следовательно, согласно лемме 1, последовательность {xⁿ} равномерно сходится к нулю на отрезке [0,q]:
xⁿ 0, 0 < q < 1.

Рис. 2

2. Рассмотрим теперь последовательность функций f_n(x) = xⁿ, n = 1, 2, ..., на полуинтервале [0,1). Здесь снова
f(x) f_n(x) = 0, x [0,1),
т. е. последовательность {xⁿ} сходится на полуинтервале [0,1) к функции равной нулю:
x_n 0,
однако xⁿ = 1, и потому
xⁿ = 1 =1 0.
Следовательно, согласно той же лемме сходящаяся на полуинервале [0,1) последовательность {xⁿ} не сходится на нем равномерно (рис. 2):
x_n 0,
3. Последовательность f_n(x) = xⁿ, n = 1, 2, ..., сходится и на отрезке [0,1], но уже к разрывной функции
f(x) =
Поскольку последовательность {xⁿ} не сходится равномерно на полуинтервале [0,1), то она не сходится равномерно и на отрезке [0,1]. Это следует из того, что если неравенство (1) не выполняется на каком-то множестве X (в данном случае на [0,1)), то оно, очевидно, не выполняется и на всяком множестве, содержащем в себе X.
Рассмотренная последовательность является еще одним примером сходящейся последовательности непрерывных функций, предел которой уже не является непрерывной функцией (первым примером такого рода у нас была последовательность частичных сумм ряда). Ниже будет показано, что если потребовать, чтобы последовательность не только сходилась, но и равномерно сходилась, то подобная ситуация будет уже невозможной.
Теорема 1 (критерий Коши равномерной сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность f_n равномерно сходилась на множестве X к некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовал такой номер n₀, что для всех x X, всех n > n₀ и всех p = 0, 1, ... выполнялось неравенство
| f_n+p(x) - f_n(x)|< .
В символической записи это условие выглядит следующим образом:

> 0 n0 x X n > n0 p > 0: | fn+p(x) - fn(x)| < .

3(4)

1. Пусть
f_n f.

Зафиксируем произвольно > 0. Для него в силу (1) существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ и всех x X выполняется неравенство

| f_n(x) - f(x)| < /2.
Поэтому для всех точек x X, всех номеров n > n₀ и всех p = 0, 1, 2, ... имеем
| f_n+p(x) - f_n(x)| = |[ f_n+p(x) - f(x)] + [ f(x) - f_n(x)]| <
< | f_n+p(x) - f(x)| + | f_n(x) - f(x)| < /2 + /2 = ,
т. е. выполняется условие (4).
2. Пусть выполняется условие (4); тогда в каждой точке x X последовательность { f_n(X)} удовлетворяет критерию Коши сходимости числовых последовательностей и, следовательно, сходится. Обозначим предел последовательности { f_n}на множестве X через f:

f(x) = fn(x), x X

3(5)

Перейдя к пределу в последнем неравенстве (4) при p , в силу (31.11) получим, что для всех номеров n > n₀ и всех точек x X выполняется неравенство | f(x) - f_n(x)| < .
Это и означает равномерную сходимость последовательности функций { f_n} к функции f на множестве X. 
Определение 2. Ряд

un(x), x X,

3(6)

называется равномерно сходящимся на множестве x, если на x равномерно сходится последовательность его частичных сумм.
Очевидно, что ряд, равномерно сходящийся на множестве X, сходится на этом множестве. Пусть
s(x) = u_n(x), s_n(x) = u_k(x)
и r_n(x) = s(x) - s_n(x) = u_k(x) - остаток ряда. Равномерная сходимость ряда u_n(x) согласно определению означает, что

sn(x) s(x).

3(7)

Это условие равносильно условию
s(x) - s_n(x) 0.
Поэтому условие равномерной сходимости на множестве X ряда равносильно условию

rn(x) 0.

3(8)

Иначе говоря, равномерная сходимость ряда на множестве X означает равномерную сходимость на X к нулю последовательности его остатков. Отсюда в силу леммы получаем, что для того чтобы ряд 2) равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы

|rn(x)| = 0.

3(9)

Замечание 2. Если какие-то ряды равномерно сходятся на некотором множестве, то и любая их конечная линейная комбинация равномерно сходится на этом множестве.

Теорема 2 (необходимое условие равномерной сходимости ряда). Если ряд (31.12) равномерно сходится на множестве X, то последовательность его членов равномерно стремится к нулю на этом множестве.
В самом деле,

un(x) = sn(x) - sn-1(x), n = 2, 3, ...

3(10)

В случае равномерной сходимости на множестве X ряда (6) последовательности {s_n(x)} и {s_n-1(x)} его частичных сумм равномерно стремятся на X к его сумме s(x):
s_n(x) s(x), s_n-1(x) s(x),
поэтому
s_n(x) - s_n-1(x) 0,
а это в силу (31.16) и означает, что

un(x) 0,

3(11)

Отметим, что согласно лемме 1 для того, чтобы было выполнено условие (31.17), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

|un(x)| = 0.

3(12)

Теорема 3 (критерий Коши равномерной сходимости ряда). Для того чтобы ряд (31.12) равномерно сходился на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого > 0 существовал такой номер n₀, что для всех n > n₀, всех и всех p = 0, 1, 2, ... выполнялось неравенство
|u_n(x) + u_n+1(x) + ... u_n+p(x)| < .
В силу равенства
u_n(x) + u_n+1(x) + ... u_n+p(x) = s_n+p(x) - s_n-1(x),
где s_n(x) - частичные суммы рассматриваемого ряда, критерий Коши равномерной сходимости рядов сразу следует из критерия Коши равномерной сходимости последовательностей. 
Замечание 3. В дальнейшем нам понадобится следующее простое свойство равномерно сходящихся рядов. Если ряд (6) равномерно сходится на множестве X, а функция f ограничена на этом множестве, то ряд f(x)u_n(x) также равномерно сходится на X.
Действительно, ограниченность функции f означает, что существует такая постоянная c > 0, что для всех x X выполняется неравенство | f(x)| < c. Поэтому для любых целых n > 1, p > 0 и любой точки x X имеет место неравенство
| f(x)u_n(x) +  f(x)u_n+1(x) + ...  f(x)u_n+p(x)| = | f(x)||u_n(x) + u_n+1(x) + ... u_n+p(x)| <
< c|u_n(x) + u_n+1(x) + ... u_n+p(x)|.
Из этого неравенства следует, что ряд f(x)n = 1, 2, ... удовлетворяет на множестве X критерию Коши равномерной сходимости ряда, ибо этому критерию удовлетворяет исходный ряд (6). 
Теорема 4 (признак Вейерштрасса). Если числовой ряд

n, n > 0,

3(13)

сходится и для всех X и для всех n = 1, 2, ... выполняется неравенство

|un(x)| < n,

3(14)

то ряд (6) абсолютно и равномерно сходится на множестве X.
Абсолютная сходимость ряда (6) в каждой точке x множества X следует, согласно признаку сравнения, из неравенства (14) и сходимости ряда (13).
Докажем равномерную сходимость ряда (6). Пусть r_n(x) и  _n являются остатками порядка n соответственно рядов u_n(x), x X, и a_n(x), т. е. r_n(x) = u_k(x), _n(x) = a_k. Тогда
|r_n(x)| = u_k(x) < |u_k(x)| a_k = _n, x X.
Из сходимости ряда a_n следует, что , тогда в силу следствия из леммы 1 имеем
r_n(x) 0.
Это и означает, что ряд (6) равномерно сходится на множестве X. 

Примеры.

Было показано, что ряд
zⁿ/n!
сходится при любом z C, в частности, для любого r > 0 сходится ряд

r^n/n!.

3(15)

Поскольку из неравенства |z| < r следует неравенство |zⁿ/n!| < rⁿ/n!, то из признака Вейерштрасса следует, что ряд (15) абсолютно и равномерно сходится в круге K_r = {z: |z| < r} любого радиуса r. Однако ряд (15) не сходится равномерно на всей комплексной плоскости C. Это следует из того, что последовательность членов ряда (15) не стремится равномерно к нулю на C, ибо при любом n = 1, 2, ... имеет место равенство
|zⁿ/n!| = + ,
и потому условие (12) заведомо не выполнено.
Итак, ряд (15) равномерно сходится в круге K_r сколь угодно большого радиуса r, но не сходится равномерно на всей плоскости C. Это означает, что если обозначить через s(z) и s_n(z) соответственно сумму и частичные суммы ряда (15), то для любого > 0 при заданном круге K_r можно так выбрать номер n₀, что для всех n > n₀ и всех z K_r будет выполняться неравенство |s(z) - s_n(z)| < . Номер n₀ зависит не только от , но и от r, т. е. n₀ = n₀( ,r), причем при неограниченном возрастании радиуса r номер n₀ также неограниченно возрастает: n₀( ,r) = + (если бы это было не так, то ряд (15) сходился бы равномерно на всей комплексной плоскости), т. е. невозможно выбрать такой номер n₀, чтобы при всех n > n₀ неравенство |s(z) - s_n(z)| < выполнялось для всех z C.
5. Ряд zⁿ, z C, сходится в открытом круге K = {z: |z|< 1} и при любом , 0 < r < 1, сходится равномерно в замкнутом круге K_r = {z: |z| < r} . Это следует, например, из признака сходимости Вейерштрасса, так как при |z| < r имеем |zⁿ| + |z|ⁿ < rⁿ и ряд rⁿ сходится. В круге K заданный ряд не сходится равномерно, так как
|zⁿ| +  |z|ⁿ = 1 и, следовательно, в круге K не выполняется необходимое условие равномерной сходимости ряда.
При |z| < 1 члены ряда zⁿ образуют убывающую геометрическую прогрессию, и поэтому zⁿ = 1/(1 - z). Если z = r(cos n + isin n ), то
zⁿ = rⁿ(cos n + isin n ) = ,
0 < r < 1, - < < + .
Приравняв действительную и мнимую части этого равенства, получим
rⁿcos n = , rⁿsin n = .
При фиксированном r, 0 < r < 1, эти ряды как функции переменной  абсолютно и равномерно сходятся на множестве R всех действительных чисел. Это следует, например, из признака равномерной сходимости Вейерштрасса, так как |rⁿcos n | < |rⁿ|, |rⁿsin n | < |rⁿ|, и при 0 < r < 1 ряд rⁿ сходится.