Функциональные ряды и нахождение области сходимости. Степенные ряды. Радиус сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Теорема. Если для степенного ряда
a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...+a_nxⁿ+... (1)
существует

то радиус сходимости

Пример 1 Найти область сходимости степенного ряда

Чтобы определить радиус сходимости, найдем предварительно

Следовательно, Ряд будет сходиться правильно
в интервале Исследуем его сходимость на границах. При х=1степенной ряд обращается в расходящийся числовой ряд

т.к. его члены больше соответствующих членов гармонического ряда

При получив знакочередующийся числовой ряд

у которого

и

следовательно, он будет сходиться по признаку Лейбница. Итак, областью сходимости ряда будет полузакрытый интервал [—1, 1).
Изобразим это графически:


Пример 2. Найти область сходимости ряда

Находим ρ


Следовательно, степенной ряд будет сходиться правиль­но в интервале

Исследуем сходимость этого ряда на границах, при
получим числовой ряд

сходимость которого легко обнаружить, применив интеграль­ный признак Коши:

При получим ряд знакочередующийся, абсолютно сходящийся

т.к. ряд (а) сходится.
Следовательно, областью сходимости ряда будет
Графически это изобразится следующим образом:

_{Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда .
Так как , то
.
Ряд сходится при всех значениях x: .}

1. 
   Примеры для самостоятельного решения
   

Найти область сходимости функционального ряда

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   
6. 
   
   
7. 
   
   
8. 
   
   
9. 
   
   
10. 
    
    

2.