Функциональные ряды и нахождение области сходимости. Степенные ряды. Радиус сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Равномерная сходимость функционального ряда
Определение 1. Функциональная последовательность называется равномерно сходящейся к функции f на множестве X, если для любого > 0 существует такой номер n₀, что для всех точек x X и всех номеров n > n₀ выполняется неравенство

| fn(x) - f(x)| < .

((1)

Очевидно, что если последовательность (31.1) равномерно сходится на множестве X к функции f, то эта последовательность сходится к функции f на рассматриваемом множестве.
Если последовательность { f_n} сходится на множестве X к функции f, то пишут
f_n f,
а если эта последовательность сходится равномерно к f на указанном множестве, то пишут
f_n f.
В символической записи определения сходящейся и равномерно сходящейся на множестве последовательности выглядят соответственно следующим образом:
f_n f > 0 x X n₀ n > n₀: | f_n(x) - f(x)| < .
f_n f > 0 n₀ x X n > n₀: | f_n(x) - f(x)| < .

Рис. 1

Таким образом, если последовательность { f_n} только сходится к функции f на множестве X, то для каждой точки x X существует, вообще говоря, свой номер n₀ = n₀( ,x), для которого при n > n₀ выполняется неравенство
| f_n(x) - f(x)| < ,
и может оказаться, что для всех точек x X невозможно подобрать общий номер n₀, обладающий указанным свойством.
Равномерная же сходимость последовательности { f_n} к функции f означает, что, какое бы число > 0 ни задать, можно подобрать такой номер n₀, что в любой точке значение функции будет отличаться от значения функции меньше, чем на (рис. 1).
Лемма 1. Для того чтобы последовательность { f_n} равномерно сходилась на X к функции f, необходимо и достаточно, чтобы

| fn(x) - f(x)| = 0.

((2)

Значение этой леммы состоит в том, что она сводит понятие равномерной сходимости поледовательности { f_n} функций к понятию сходимости числовой последовательности
{ | f_n(x) - f(x)|}
("числовой" в широком смысле этого слова: конечное число членов указанной последовательности может обратиться в + ). В силу этого обстоятельства условие (2) часто бывает удобно использовать для выяснения, сходится ли равномерно интересующая нас конкретная последовательность функций.
1. Пусть
f_n f.

Зададим произвольно > 0.

Тогда существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ и всех x X выполняется неравенство | f_n(x) - f(x)|< , а следовательно, для всех n > n₀ - неравенство
| f_n(x) - f(x)| < .
Это и означает выполнение условия (2).

2. Пусть выполнено условие (2). Зададим произвольно > 0. Тогда в силу определения предела числовой последовательности существует такой номер n₀, что для всех n > n₀ выполняется неравенство

| f_n(x) - f(x)| < ,
а следовательно, для всех n > n₀ и всех x X - неравенство
| f_n(x) - f(x)| < .
Это означает, что
f_n f.
Следствие. Если существует стремящаяся к нулю последовательность { _n}:
_n = 0.