Функциональные ряды и нахождение области сходимости. Степенные ряды. Радиус сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Степенные ряды. Радиус сходимости

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

a₀+a₁(x – a)+a₂(x – a)²+a₃(x – a)³+...+a_n(x – a)ⁿ+... (1)
где a₀, a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... – постоянные, называемые
коэффициентами ряда, а – любое число.
В частном случае, когда а = 0, ряд (1) принимает вид
a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...+a_nxⁿ+...(2)

Для большей простоты формулировок и доказательств теорем, будем оперировать с рядами вида (2), т.к. переход от ряда (1) к ряду (2) сводится к подстановке х – а = х'.

1. Теорема Абеля
Теорема Абеля. Если степенной ряд
a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...+a_nxⁿ+... (2)

сходится в какой-нибудь точке x₀,отличной от нуля, тогда он правильно сходится на всяком отрезке [a, b], лежащем внутри промежутка (–│x₀│, │x₀│).

Радиус сходимости. Область сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля, как следствие, вытекает, что если степенной ряд
a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+...+a_nxⁿ+... (1)
расходится для какого-либо значения , то он будет расходиться для всех значений │x│>│x₀│, так как в противном случае ряд (1) сходился бы и при , что противоречит условию. Всякий степенной ряд вида (1), очевидно, будет сходиться для , и его сумма будет равна a_0.
Будем давать х значения, отличные от нуля так, что │x│ будет монотонно возрастать. Можно показать (мы не задерживаемся на этом), что при своем изменении │x│ примет такое значение – обозначим его через R, –что для всякого │x│R расходящимся. Значение R для каждого степенного ряда зависит от его коэф­фициентов и называется радиусом сходимости степенного ряда.