Funksional ketma-ketliklar va qatorlarning tekis yaqinlashishi. Koshi kriteriysi. Usmonov Maxsud Tulqin o‘g’li

2-teorema (Koshi teoremasi). funksional ketma-ketlik to’plamda limit funkstiyaga ega bo’lishi va unga tekis yaqinlashishi uchun son olinganda ҳam shunday topilib, va da
,
ya’ni
va da
(2)
bo’lishi zarur va etarli.
◄ Zarurligi. Aytaylik, to’plamda funksional ketma-ketlik limit funkstiya ga ega bo’lib, unga tekis yaqinlashsin:

Tekis yaqinlashish ta’rifiga ko’ra
bo’ladi. Xususan, va da

tengsizliklar bajarilib, ulardan


bo’lishi kelib chiqadi. Demak, (2) shart o’rinli.
Etarliligi. funksional ketma-ketlik uchun (2) shart bajarilsin. Uni quyidagicha yozamiz:
da
(3)
bo’ladi.
Ravshanki, tayin da sonlar ketma-ketligi uchun (3) shartning bajarilishidan uning fundamental ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Koshi teoremasiga ko’ra yaqinlashuvchi bo’ladi. Binobarin, chekli
(4)
limit mavjud.
Modomiki, ҳar bir da (4) limit mavjud bo’lar ekan, unda avval ayganimizdek, to’plamda aniqlangan

funkstiya ҳosil bo’ladi Uni bilan belgilaymiz. Bu funkstiya funksional ketma-ketlikning limit funkstiyasi bo’ladi:
.
Endi (3) tengsizlikda, va larni tayinlab da limitga o’tamiz. Natijada

ҳosil bo’ladi. Bu

bo’lishini bildiradi. ►
6-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlik to’plamda tekis yaqinlashuv-chilikka tekshirilsin.

◄Agar ixtiyoriy uchun

deyilsa,

bo’ladi. Demak,
.
Bu esa yuqoridagi teoremaning shartini bajarilmasligini ko’rsatadi. Demak, berilgan funksional ketma-ketlik da tekis yaqinlashuvchi emas.►
Aytaylik, funksional ketma-ketlik to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib, funkstiya uning limit funkstiyasi bo’lsin:
.
Agar

bo’lsa, funksional ketma-ketlik to’plamda funkstiyaga notekis yaqinlashadi deyiladi.
7-misol. Ushbu

funksional ketma-ketlik da tekis yaqinlashishiga tekshirilsin.
◄ Ravshanki,
.
Demak, berilgan funksional ketma-ketlikning limit funkstiyasi bo’ladi.
Aytaylik, bo’lsin. Unda

munosabat ixtiyoriy da o’rinli bo’ladi.
Demak, funksional ketma-ketlik limit funkstiya ga da tekis yaqinlashmaydi.►
3⁰. Tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketlikning xossalari. Tekis yaqinlashuvchi funkstiyaonal ketma-ketliklar qator xossalarga ega. Bu xossalarni keltiramiz.
Aytaylik. :

funksional ketma-ketlik to’plamda yaqinlashuvchi bo’lib, uning limit funkstiyasi bo’lsin:
.
1-xossa. Agar funksional ketma-ketlikning ҳar bir ҳadi to’plamda uzluksiz bo’lib,

bo’lsa, limit funkstiya shu to’plamda uzluksiz bo’ladi.
Demak, bu ҳolda

munosabat o’rinli bo’ladi.
2-xossa. Agar funksional ketma-ketlikning ҳar bir ҳadi da uzluksiz bo’lib,

bo’lsa,

bo’ladi.
Demak, bu ҳolda

munosabat o’rinli bo’ladi.
3-xossa. Agar funksional ketma-ketlikning ҳar bir ҳadi da uzluksiz ҳosilalarga ega bo’lib,

bo’lsa,

bo’ladi.
Shu kabi xossalarga keyinroq o’rganiladigan tekis yaqinlashuvchi funksional qatorlar ҳam ega bo’ladi. Ayni paytda, ular bir muloҳaza asosida isbotlanadi Mazkur xossalarning isbotini funksional qatorlarga nisbatan keltiramiz.