«Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi»

7-tarif. Yuqoridagi 2-teoremada topilgan r soni (16) darajali qatorning yaqinlashish radiusi, ),( rr interval esa (16) darajali qatorning yaqinlashish intervali deb ataladi.
Eslatma. 2-teorema rx qiymatlarida (16) darajali qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‟lishi to‟g‟risida hulosa chiqarib bermaydi. Bu rx nuqtalarda (16) darajali qator yaqinlashuvchi ham bo‟lishi mumkin, uzoqlashuvchi bo‟lishi ham mumkin. Endi misollar qaraymiz.
Misollar. 1. Ushbu
... 1 2 nxxx
darajali qator (geometric qator) ning yaqinlashish radiusi 1r, yaqinlashish radiusi  1,1 bo‟ladi. Bu qator intervalning chekka nuqtalari 1r da uzoqlashuvchi. 2. Quyidagi
...

321

1
22

3

2


2

2



n
xxxxn
qatorning yaqinlashsish radiusi 1r, yaqinlashish intervali esa  1,1 bo‟ladi. Berilgan qator 1r da yaqinlashuvchi 1r da esa uzoqlashuvchidir, demak darajali qatorning yaqinlashish sohasi (toplami)  1,1 segmentdan iborat.
3. Ushbu
...)1(...
321
1

32

 

n
xxxxnn
darajali qatorning yaqinlashsish radiusi 1r, yaqinlashish intervali esa  1,1 bo‟ladi. Berilgan qator 1r da yaqinlashuvchi 1r da esa uzoqlashuvchidir, demak darajali qatorning yaqinlashish sohasi  1,1 segmentdan iborat.
Eslatma. Yuqoridagi teorema bazi 00x nuqtalarida yaqinlashuvchi, bazi
01x nuqtalarda uzoqlashuvchi bo‟lgan darajali qatorlar haqidadir. Ammo shunday darajali qatorlar ham borki, ular faqat 0x nuqtadagina yaqinlashuvchi
bo‟ladi. Masalan, 

1
!
n
n nx, qator istalgan 00x nuqtada uzoqlashuvchidir.
Haqiqatan ham, dalamber alomatiga ko‟ra

 

  







0
0
1
01lim

!


!1

lim xn

xn


xn

n
n
n
n
bo‟ladi. Demak 

1
!
n
n nx, qator istalgan 0x da uzoqlashuvchi bunday darajali
qatorning yaqinlashish radiusini 0r deb olamis. Ayni vaqtda shunday darajali qatorlar ham borki, ular ixtiyoriy   ,x da yaqinlashuvchi bo‟ladi. Masalan,


1!n
n
n
x
ni olaylik. Bu qator istalgan 0x nuqtada yaqinlashuvchidir. Haqiqatdan ham,
yana Dalamber alomatiga ko‟ra
 
0
1
lim
!
!1
lim
0
0
1
0


 

n
x
x
n

n


x

nn

n

n
bo‟ladi. Demak, bu qator istalgan   ,x da yaqinlashuvchi nuqta. Bunday darajali qatorning yaqinlashish radiusi r deb olinadi.
Koshi-Adamar teoremasi. Yuqorida ko‟rdikki, darajali qatorlarning yaqinlashish sohasi sodda struqturaga ega bo;lar edi yoki interval, yoki yarim interval, yoki segment. Hamma hollarda ham bu soha yaqinlashish radiusi r orqali ifodalanadi.
Malumki, har qanday darajali qator
...
0
2
210


n
n
n
n
nxaxaxaaxa (16)
o‟zining koeffitsientlari ketma-ketligi  na bilan aniqlanadi. Binobarin, uning yaqinlashish radiusi ham shu koeffitsientlar ketma-ketligi orqali qandaydir topilishi kerak. Berilgan (16) darajali qator koeffitseintlari yordamida  n na

,...,...,,,
210

n
naaaa (21)
sonlar ketma-ketligini tuzamiz. Malumki, har qanday sonlar ketma-ketligining yuqori limiti mavjud. Demak (21) ketma-ketlik ham yuqori limitga ega. Uni bbilan belgilaylik

n

n
n

ab




 lim   b0