«Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi»

7-teorema. (Koshi-Adamar teoremasi). Berilgan 

1n
na
nx darajali qatorning
yaqinlashish radiusi
n
n

n


ab

r




lim

11

(22)
bo‟ladi.

Eslatma. Yuqoridagi (22) fo‟rmulada 0b bo‟lganda r, b bo‟lganda esa 0r deb olinadi.
Isbot. (22) fo‟rmulaning to‟g‟riligini ko‟rsatishda quyidagi
1) )0(  rb,
2) )(0  rb,
3) 






b
rb
1
0
hollarni alohida-alohida qaraymiz.
1) b bo‟lsin. Bu holda n na ketma-ketlik chegaralangandir. Ixtiyoriy
 000xx nuqtani olib, bu nuqtada (1) darajali qatorlarning uzoqlashuvchi ekanini ko‟rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, yani shu 0x nuqtada (16) darajali qator
yaqinlashuvchi bo‟lsin. Demak, 




1
n


n
a

nx qator (sonli qator) yaqinlashuvchi, unda
yaqinlashuvchanligining zaruriy shartiga asosan
0lim 0



n
n

n

xa
bo‟ladi. Demak, nnxa0 ketma-ketlik chegaralangan, yani shunday o‟zgarmas M
soni mavjudki (uni 1 dan katta qilib olish mumkin), Nn uchun

)1(
0

MMxa


n


n

tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlikdan

M0

nn


n
Mxa

yani
0x

M
an n
bo‟lishi kelib chiqadi. Shunday qilib n na ketma-ketlik chegaralangan bo‟lib
qoladi. Natijada ziddiyatlik yuzaga keldi. Ziddiyatning kelib chiqishiga sabab ( 00x) nuqtada (16) qatorning yaqinlashuvchi bo‟lsin deb olinishidir. `Demak,
 000xx nuqtada uzoqlashuvchi.
2) 0b bo‟lsin. Bu holda ixtiyoriy  000xx nuqtada (16) darajali qatorning
yaqinlashuvchi bo‟lishini ko‟rsatamiz. Modomiki,  n na ketma-ketlikning yuqori
limiti nolga teng ekan, bundan uning limiti ham mavjud va nolga tengligi kelib
chiqadi. tarifga asosan 0 soni olinganda ham, jumladan
02
1
x
 ga ko‟ra
shunday Nn0 topiladiki barcha 0nn uchun
02
1
x
an n
bo‟ladi. Keyingi tengsizlikdan esa
n
n

n
xa

2
1

0
bo‟lishi kelib chiqadi. ravshanki


02
1
n
n
qator yaqinlashuvchi. Taqqoslash teoremasiga ko‟ra


0
0
n
n
nxa
qator ham yaqinlashuvchi bo‟ladi. Demak,


0
0

n

n
nxa
qator absalyut yaqinlashuvchi.
3)  b0 bo‟lsin. Bu holda (16) darajali qator ixtiyoriy 






b
xx
1
00
nuqtada yaqinlashuvchi, ixtiyoriy 





