«Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi»

5-teorema. (Abel teoremasi). Agar
... 22
0
10


n
n
n
n
nxaxaxaaxa (16)
darajali qator x ning )0( 00 xxx qiymatida yaqinlashuvchi bo‟lsa, x ning
|||| 0xx (18)
tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida (16) darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bo‟ladi.
Isbot. Shartga ko‟ra
... 0
2
020
0
100


n
n
n
n
nxaxaxaaxa
qator (sonli qator) yaqinlashuvchi. U holda qator yaqinlashuvchiligining zaruriy shartiga asosan
0lim 0



n
n

n

xa
bo‟ladi. Demak, }{ 0
n
nxa ketma-ketlik chegaralangan bo‟ladi, ya‟ni shunday o‟zgarmas M soni mavjudki, Nn uchun
Mxann|| 0
tengsizlik bajariladi.Bu tengsizlikni e‟tiborga olib quyidagini topamiz:
nn
n

n

n
n
x
x
M
x
x
xaxa
00

00


Endi ushbu

... 0
2

210

0







n
n
n
n
nxaxaxaaxa (19)
qator bilan birga quyidagi
...
0
2

000 0






x

x
M
x
x
M

x

x
MM
x
x
M
n
n
(20)
qatorni qraylik. Bunda, birinchidan (20) qator yaqinlashuvchi (chunki bu qator
geometrik qator bo‟lib, uning mahraji (18) ga ko‟ra 1 dan kichik 1
0

x
x
),
kkinchidan (19) qatorning har bir hadi (20) qatorning mos hadidan katta emas. U holda (19) qator yaqinlashuvchi bo‟ldi. Demak berilgan (16) darajali qator absalyut yaqinlashuvchi. Teorema isbot bo‟ldi.
Natija. Agar
...
0
2
210


n
n
n
n
nxaxaxaaxa (16)
darajali qator x ning 0x-x qiymatida uzoqlashuvchi x ning 0xx  tenhsizlikni
qanoatlanuvchi barcha qiymatlarda uzoqlashuvchi bo‟ladi.
Isbot. Berilgan (16) darajali qator 0x nuqtada uzoqlashuvchi bo‟lsin. Unda
bu qator x ning 0xx  tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatida ham
uzoqlashuvchi bo‟ladi, chunki (16) qator x ning 0xx  tengsizlikni
qanoatlantiruvchi biror 1xx qiymatida yaqinlashuvchi bo‟ladigan biror, unda Abel teoremasiga ko‟ra bu qator
 100xxxx nuqtada ham yaqinlashuvchi bo‟lib qoladi. Bu bu esa (16) qatorning
0xx da uzoqlashuvchi bo‟lishiga ziddir. Natija isbot bo‟ldi.
Darajali qatorning yaqinlashish radiusi va yaqinlashish intervali. Endi darajali qatorning yaqinlashish sohasi strukturasini aniqlaylik.