«Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi»

3-Ta`rif. Agar







1

)(

n

nxf (5)
funksional qator x=x0 nuqtada yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi.
4-Ta`rif. Agar X to`plamning har bir nuqtasida (5) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator X to`plamda absolyut yaqinlashuvchi deb ataladi/
5-Ta`rif. Agar x=x0 nuqtada (4) qator yaqinlashuvchi bo`lib, (5) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, u holda (4) funksional qator x=x0 nuqtada shakli yaqinlashuvchi deyiladi.
Argument x ning (4) va (5) qatorlar yaqinlashadigan qiymatlari to`plami mos ravishda (4) qatorning yaqinlashish va absolyut yaqinlashish sohasi deyiladi.
Misol. 

1
)(ln
n
n
n
x
funksional qatorning yaqinlashishi va absolyut yaqinlashish
sohasi topilsin.
Yechish. Ma`lumki 

1n
n
n
q
qator 1q bo`lganda absolyut yaqinlashuvchi,
1q bo`lganda uzoqlashuvchi q=-1 bo`lganda qator shartli yaqinlashuvchi, q=1
bo`lganda uzoqlashuvchi.
Shuning uchun, agar 1ln x ya`ni exe1 bo`lsa, 

1
)(ln
n
n
n
x
qator absolyut
yaqinlashuvchi. Lnx=-1 ya`ni x=e

-1

nuqtada berilgan qator shartli, x ning boshqa qiymatlarida uzoqlashuvchi bo`ladi.

Javob: Berilgan qatorning yaqinlashish sohasi [e
-1
,e), absolyut yaqinlashish sohasi (e
-1
,e) entervaldan ibotar.
2-§. Funksional qatorlarning yaqinlashishi
Biror RX to'plamda  )(xun funksional ketma-ketlik berilgan bo„lsin. Quyidagi
...)(...)()( 21 xuxuxun
ifodaga funksional qator deyiladi va u 

1
)(
n
nxu kabi belgilanadi.




1

0
)(

n
nxu...)(...)()( 21 xuxuxun ( 6 )
),...(),...,(),( 21xuxuxun larga funksional qatoming hadlari, )(xun ga esa funksional qatoming umumiy hadi deyiladi.
Ixtiyoriy Xx0 nuqta olib, ushbu





)(

n
nxu...)(...)()( 00201 xuxuxun (7) sonli qatomi qaraymiz. Agar bu sonli qator yaqinlashuvchi (uzoq- lashuvchi) bo„Isa, 

1
)(
n
nxu funksional qator 0x nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) deyiladi, 0x nuqta esa funksional qatorning yaqinlashish (uzoqlashish) nuqtasi deb ataladi.


1
)(
n
nxu funksional qatoming barcha yaqinlashish nuqtalaridan iborat M  RM to„plam bu funksional qatoming yaqinlashish sohasi deyiladi. Mx 0 nuqta olib, 

1
0)(
n
nxu sonli qatorni ko‟rsak, u yaqinlashuvchi bo„ladi. Uning yig„indisini )( 0xS deb belgilaymiz. Xuddi shunga o„xshash Mx olib, unga


1
)(
n
nxu qatorning yig„indisini mos qo„ysak, u holda M to'plamda aniqlangan )(xS funksiya hosil bo„ladi. Bu )(xS funksiya (6)-funksional qatoming yig„indisi deyiladi:
)(xS





1

0
)(

n
nxu...)(...)()( 21 xuxuxun
Ushbu
)(xSn,)(
1



n


k

kxu ,...2,1n
yig„indilaiga (6)-funksional qatoming qismiy yig„indilardeyiladi. Shunday qilib, (6)-qatoiga mos keluvchi
  ),...(),...,(),(:)( 21xSxSxSxSnn (8)
funksional ketma-ketlikni hosil qildik va aksincha, (8)-qismiy yig„indilari ketma- ketligi berilgan holda har doim hadlari (6)-funksional qatorning hadlariga teng bo„lgan quyidagi
    ...)()(...)()()( 1121 xSxSxSxSxSnn
funksional qatorni hosil qilish mumkin.  Agar (8)-ketma-ketlik 0x nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo„Isa, u holda (6)-qator ham 0x nuqtada yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo„ladi va
( ) lim ( )n
n
S x S x


tenglik bajariladi.
Demak, funksional qator yoki funksional ketma-ketlikdan birining xossalarini batafsil o„rganish yetarlidir.