«Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchanligi»

11-teorema. Agar 

0n

n

nxa darajali qatorning yaqinlashish radiusi r )0( r
bo‟lsa, bu qatorni  ba,   rrba,,  oraliqda hadlab integrallash mumkin.
Isbot. Shunday  rcc0 topa olamizki,      rrccba,,,  bo‟ladi. Berilgan darajali qator  cc, da tekis yaqinlashuvchi bo‟ladi. Demak,  ba, da (1) darajali qator yaqinlashuvchi. (16) qatorning yig‟indisi
  ...
0
2

210






n
n
n
n
nxaxaxaaxaxS
uzluksiz bo‟lib, bu qatorni hadlab integrallash mumkin.
1
)(
11
000











  n
ab

adxxadxxadxxS

nn
n
n
n
b
a
n
n
b
a n

n

n
b
a
.
Teorema isbot bo‟ldi.
Xususan,  rxxba ,0 bo‟lganda
...

21

)( 1210

0 0
1



 




 
nn
x
n
nnx
n
a
x
a

xax

n

a

dxxS
bo‟ladi. Bu qatorning yaqinlashish radiusi ham r ga teng. Haqiqatan ham, Koshi- Adamar teoremasidan foydalanib quyidagini topamiz:
.lim
1
1
limlim

1

lim
1

lim
ra
n
a

n


a

n
a
n
n
n
nn
n
n

nn

n

n

n
n
n
n














12-teorema. 

0n
n
nxa darajali qatorning yaqinlashish radiusi r bolsa,  rr,
dab u qatorni hadlab integrallash mumkin.
Isbot.Avvalo berilgan (16) darajali qator hadlarining hosilalaridan tuzilgan ushbu
... 32 1
1
2

311

1 


 nn
n
n
nxnaxaxaaxna (32)
Qatorning rx0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy nuqtada
yaqinlashuvchi bo‟lishini ko‟rsatamiz. Quyidagi rcx0 tengsizliklarni
qanoatlantiruvchi c sonni olaylik. Unda 1
1
0 qx
c
bolib,
n
n

nn

nca
c

nqxna


1
11

0



bo‟ladi. Ravshanki  




1
11
n
nqnq
qator yaqinlashuvchi (uni Dalamber alomatiga ko‟ra ko‟rsatish qiyin emas). Unda
0lim 1



n

n

nq
bo‟ladi. Demak, n ning biror 0n qiymatidan boshlab ( 0nn uchun) cnq
n1 bo‟lib
natijada 0nn uchun ushbu
n
n

n

ncaxna

1

0 (33) tengsizlikka kelamiz.
 rrc, bo‟lganligi sababli 

0n

n

nca qator absalyut yaqinlashuvchi.
Unda (33) munosabatni hisobga olib. Veyrshtrass alomatidan foydalanib 



0
1
n
n
nxna qatornig  rr, da yaqinlashuvchi bo‟lishini topamiz. Demak, buqator
 cc, da tekis yaqinlashuvchi bo‟ladi. Shunda qilib berilgan (16) darajali qator hadlarining hosilalaridan tuzilgan (32) qator tekis yaqinlashuvchi.
U holda

 












0 0
1
0

)()()(

n n
n
n
n
n
n

n

nxnaxaxaxS
bo‟ladi.
Shuni ham aytish kerakki (16) va (32) qatorlarning yaqinlashish radiuslari bir xil bo‟ladi. Haqiqatan ham, Koshi-Adamar teoremasidan foydalanib quyidagini topamiz.
  .limlimlimlim n n
n
n
n
n
n

n

n
n
n
n
ananan






Demak,
.limlim n n

n

n

n
n
aan




Bu xossadan quyidagi natija kelib chiqadi.

Natija. Agar (16) darajali qator yaqinlashish radiusi r bo‟lsa bu qatorni  rr, da istalgan marta differentsiallash mumkin. Shunday qilib yaqinlashish
radiusi 0r bo‟lgan
0
n
n
n
a x


 darajali qatorni hadlab integrallash va hadlab
(istalgan marta) differentsiallash mumkin va xosil bo‟lgan darajali qatorlarning yaqinlashish radiusi ham r ga teng bo‟ladi.
8-tarif.Agar ( )f x funksiya ( , )r r da yaqinlashuvchi darajali qatorning yig‟indisi bo‟lsa ( )f x funksiya ( , )r r da analitik deb ataladi.
13-teorema.Ikkita
...
0
2
210


n
n
n
n
nxaxaxaaxa (16)
2
0 0 1 2

0
... ...n nn
n
b x b b x b x b x


      (34)
darajali qator berilgan bo‟lib, (16) darajali qatorning yaqinlashishi radiusi 10r
yig‟indisi esa  1S x darajali qatorning yaqinlashish radiusi 20r yig‟indisi  2S x
bo‟lsin.
Agar  ,x r r   1 2( min( , ))r r r da
 1S x=  2S x (35)
bo‟lsa u xolda n N  uchun
n na b ya‟ni (16) va (34) darajali qator bir xil bo‟ladi.
Isbot.Ravshanki (16) va (34) darajali qatorlar  rr, da yaqinlashuvchi va ularning yig‟indilari  1S x va  2S x funiktsiyalar shu intervalda uzliksiz b‟ladi.
Demak,
       1 1 2 2
lim 0 , lim 0
x x
S x S S x S
 
 
Yuqoridagi (35) shartga ko‟ra    1 20 0S S bo‟ladi. Bundan esa 0 0a b
ekanligi kelib chiqadi. Binobarin,  ,x r r   uchun 1 1
1 1
n n
n n
n n
a x b x
 
 
 
  Agar 0x
desak bu tenglikdan barcha    ,0 0,x r r   uchun
1 1
1 1
n n
n n
n n
a x b x
 
 
 
 
ga ega bo‟lamiz. Bu darajali qatorlarning har biri ham  rr, da yaqinlashuvchi bo‟ladi va demak, ularning yig‟indilari shu intervalda uzliksiz funiktsiya bo‟ladi. Shu xususiyatdan foydalansak, 0x da
1 1
1 1
1 1
1 1
lim , limn nn n
x x
n n
a x a b x b
 
 
 
 
  
bo‟lishini ba demak, 1 1a b ekanligini topamiz. Bu jaroyonni davom ettira borib, barcha n N uchun n na b bo‟lishi topiladi. Demak, (16) va (34) darajali qatorlar bir xil bo‟ladi. Teorema isbot bo‟ldi.   , 0r r r  oraliqda ( )f x funiktsiya berilgan
va uzliksiz bo‟lsin. Yuqoridagi teorema, ( )f x ni darajali qator yig‟indisi sifatida ifodalay oladigan bo‟lsak, bunday ifodalash yagona bo‟lishini bildiradi.
Teylor qatori
Biz yuqorida, har qanday darajali
0 1 2
0
... ...n n nn n
n
a x a a x a x a x


    
Qator o‟zining yaqinlashish intervali  rr, da uzliksiz  S x funiktsiyani (darajali
qator yig‟indisi) ifodalab bu, funiktsiya shu oraliqda istalgan tartibdagi hosilaga ega bo‟lishini ko‟rdik.
Endi biror oraliqda istalgan tartibdagi hosilaga ega bo‟lgan funiktsiyani darajali qatorga yoyish masalasini ko‟ramiz.
1. Funksiyalarni Teylor qatoriga yoyish. ( )f x funksiya 0x x nuqtaning biror
 0 0 0( ) :U x x R x x x      
atrofida berilgan bo‟lib, shu atrofida funksiya istalgan tartibdagi hosilaga ega
bo‟lsin. Ravshanki, bu holda funksiyaning Teylor formulasi
   
 
 
 
 
  
   
20 0
0 0 0
0
0
...
1! 2!
1!

n

n
n
f x f x
f x f x x x x x
f x
x x r x
 
      
  
ni yozish mumkin, bunda  nr x-qoldiq had.
Berilgan )(xf funksiyaning 0x nuqtada istalgan tartibdagi hosilaga ega bo‟lishi Teylor formulasidagi hadlarning sonini har qancha katta sonda olish imkonini beradi. Binobarin, tabiiy ravishda ushbu
...)(

!


)(

...)(
!2

)(
)(
!1
)(
)(
0

0

)(
2
0
0

0

0
0











n
n
xx

n

xf
xx
xf
xx
xf
xf
(36)
qator yuzaga keladi. Bu maxsus darajali qator bo‟lib, uning koeffitsentlari )(xf funksiya va uning hosilalarining 0x nuqtadagi qiymatlari orqali ifodalangan. Odatda (36) darajali qator )(xf funksiyaning Teylor qatori deb ataladi.
Xususan 00x da qator quyidagicha bo‟ladi:
...
!
)0(
...
!2
)0(
!1
)0(
)0(
)(
2





 n

n
x
n
f
x

f


x

f
f (37)
Darajali qator deb nomlangan 2-§ning boshlanishida 

0n
n
nxa ko‟rinishdahi
darajali qatorni o‟rganishni kelishib olingan edi. Shuni etiborga olib, )(xf funksiyaning (37) ko‟rinishdagi Teylor qatorini o‟rganamiz.
Yana bir bor takidlaymizki, (36) qator )(xf funksiya bilan o‟zining koeffitsentlari orqali bog‟langan bo‟lib, bu (36) qator yaqinlashuvchi bo‟ladimi, yaqinlashuvchi bo‟lgan holda uning yig‟indisi )(xf gat eng bo‟ladimi, bundan qatiy nazar, uni )(xf funksiyaning Teylor qatori deb atadik.
Tabiiy ravishda quyida savol tug‟iladi: qachon biror )0(U oraliqda berilgan, istalgan tartibdagi hosilaga ega bo‟lgan )(xf funksiyaning Teylor qatori










0

)(
2
)(
...
!
)0(
...
!2
)0(

!1


)0(

)0(
!

)0(
n
n
n
n
n
x
n
f
x
f
x

f

fx
n
f
shu oraliqda xuddi shu )(xf ga yaqinlashadi?