Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

3-qoida: Agar u=u(x) va v=v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, bu nuqtada y=u(x)∙v(x)=u∙v funksiya ham differensiallanuvchi va uning hosilasi uchun
(u∙v)= u∙v+ u∙v (6)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Funksiya orttirmasi ta’rifiga asosan
∆u=u(x+∆x)– u(x) => u(x+∆x)= u(x)+ ∆u,
∆v=v(x+∆x)– v(x) => v(x+∆x)= v(x)+ ∆v
ekanligidan foydalanib, (uv) funksiya orttimasini topamiz:
(uv) =u(x+x)∙ v(x+x)– u(x)∙ v(x)= [u(x)+ ∆u]∙[ v(x)+ ∆v] – u(x)∙ v(x)=
= u(x) ∙∆v+ v(x) ∙ ∆u+∆u∙∆v.
Bu yerdan, hosila ta’rifi va limit hisoblash qoidalariga asosan,

natijani olamiz. Shartga asosan u=u(x) va v=v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi , demak uzluksiz ham bo‘lgani uchun

tengliklar o‘rinli bo‘ldi. Bu tengliklarni oldingi natijaga qo‘yib, y=u∙v funksiya differensiallanuvchi va
(u∙v)′= u∙v′+ v∙u′+ u′∙0= u∙v′+ v∙u′ ,
ya’ni (6) formula o‘rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Masalan,
(e^x ∙sinx)′= (e^x)′ ∙sinx+ e^x ∙(sinx)′= e^x ∙sinx+ e^x ∙cosx=(sinx+ cosx)e^x.
2-natija: O‘zgarmas C ko‘paytuvchini hosila belgisidan tashqariga chiqarish mumkin.
Haqiqatan ham, (4) va (6) formulalarga asosan
[C∙f(x)]΄=C·f'(x)+C·f (x)=0·f(x)+C·f (x)=C·f (x) .
Masalan, (5x²)=5∙(x²)= 5∙2x=10x .
4-qoida: Agar u=u(x) va v=v(x) funksiyalar x nuqtada differensiallanuvchi va bu yerda v=v(x)≠0 shart bajarilsa, unda bu nuqtada y=u(x)/v(x)=u/v funksiya ham differensiallanuvchi va uning hosilasi uchun
(7)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Bu tasdiqni isboti oldingi qoida isbotiga o‘xshash tarzda amalga oshiriladi va o‘quvchiga mustaqil ish sifatida taklif etiladi.
Bu qoidadan foydalanib, y=tgx va y=ctgx asosiy elementar funksiyalarning hosilasini topamiz. cosx≠0 shartda, ya’ni x≠(π/2)± πn ( n=0,1,2,3, ….) bo‘lganda

= .
Xuddi shunday ravishda, sinx≠0 shartda, ya’ni x≠±πn ( n=0,1,2,3, ….) bo‘lganda, (ctgx)=–1/(sin²x) ekanligi topiladi. Demak, y=tgx va y=ctgx funksiyalar o‘zlarining aniqlanish sohasida differensiallanuvchi bo‘lib, ularning hosilalari
(8)
formula bilan topiladi.
5-qoida: Berilgan y=f(x) funksiya x nuqtaning biror atrofida qat’iy monoton (o‘suvchi yoki kamayuvchi) va uzluksiz bo‘lsin. Bundan tashqari y=f(x) funksiya bu x nuqtada differensiallanuvchi va f(x)0 bo‘lsin. Bu shartlarda x=f ^1(y) teskari funksiya mavjud va differensiallanuvchi bo‘lib, uning hosilasi uchun
yoki (9)
formula o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Keltirilgan shartlarda tegishli y=f(x) nuqtaning biror atrofida x=f ^1(y) teskari funksiya mavjud, qat’iy monoton va uzluksiz bo‘lishini ko‘rsatish mumkin.Bu funksiyani differensiallanuvchi bo‘lishini aniqlash uchun uning y argumentiga ∆y≠0 orttirma beramiz. Bu holda x=f ^1(y) teskari funksiya
∆x=f ^1(y+∆y) – f ^1(y)
orttirma oladi. Bunda f ^1(y) teskari funksiya qat’iy monoton ekanligidan x≠0, uzluksiz ekanligidan esa ∆y→0 =>∆x→0 bo‘lishi kelib chiqadi. Bu holda, f(x) mavjud va noldan farqli ekanligi hamda hosila ta’rifidan ushbu natijani olamiz:
.
Demak, x=f ^1(y) teskari funksiya differensiallanuvchi va (9) formula o‘rinli.
Bu qoidadan foydalanib yana bir nechta asosiy elementar funksiyalarning hosilalarini aniqlaymiz.
Dastlab y=f(x)=arcsinx teskari trigonometrik funksiya hosilasini topamiz. Ta’rifga asosan, x(–1, 1) bo‘lganda bu funksiya y(–π/2, π/2) qiymatlarni qabul etadi hamda x=siny funksiyaga teskari bo‘ladi. Bu yerda y(–π/2, π/2) bo‘lgani uchun, x=siny teskari funksiyaning hosilasi
,
ya’ni noldan farqli bo‘ladi. Bu holda, (9) formulaga asosan,

natijani hosil qilamiz. Demak,
(10)
formula o‘rinli ekan. Xuddi shunday usulda
, (11)
formulalarni isbotlash mumkin.
Endi y= log_ax (a>0, a≠1) logarifmik funksiya hosilasini topamiz. Bunda x(0,∞) va y(–∞, ∞) hamda logarifmik funksiya qat’iy monoton bo‘lib, u x=a^y ko‘rsatkichli funksiyaga teskaridir. Bundan tashqari x=a^y differensiallanuvchi va (a^y)′=a^ylna≠0. Shu sababli, (9) formulaga asosan, logarifmik funksiya hosilasi mavjud va

ekanligini topamiz. Demak,
. (12)