Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

Izohlar: 1) Koshi teoremasidan g(x)=x xususiy holda Lagranj teoremasi kelib chiqadi va shu sababli (2) chekli orttirmalarning umumlashgan formulasi yoki Koshi formulasi deb ataladi.
2) f(a)= f(b) holda Koshi teoremasidan Roll teoremasi kelib chiqadi.


XULOSA
Differensial hisobning bir qator nazariy va amaliy masalalarini qarashda farang matematiklari Roll, Lagranj va Koshi teoremalardan foydalaniladi. Bu teoremalar orqali biror kesmada uzluksiz, uning ichki nuqtalarida esa differensiallanuvchu bo‘lgan funksiyalarning ma’lum bir xossalari ifodalanadi.


Tayanch iboralar

* Roll teoremasi * Lagranj teoremasi * Koshi teoremasi

Takrorlash uchun savollar

1. 
   Roll teoremasining shartlari nimadan iborat?
   
2. 
   Roll teoremasida nima tasdiqlanadi?
   
3. 
   Roll teoremasining geometrik ma’nosi qanday ifodalanadi?
   
4. 
   Lagranj teoremasi qanday mazmunga ega?
   
5. 
   Lagranj teoremasining geometrik ma’nosi nimadan iborat?
   
6. 
   Qaysi holda Lagranj teoremasidan Roll teoremasi kelib chiqadi?
   
7. 
   Koshi teoremasi qanday ifodalanadi?
   
8. 
   Qaysi holda Koshi teoremasidan Lagranj teoremasi kelib chiqadi?
   
9. 
   Qaysi holda Koshi teoremasidan Roll teoremasi kelib chiqadi?
   

Testlardan namunalar

1. 
   Roll teoremasining tasdig‘ini ko‘rsating: Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va uning ichki nuqtalarida differensiallanuvchi hamda chegaraviy nuqtalarda f(a)= f(b) bo‘lsa, u holda bu kesma ichida kamida bitta shunday x=c nuqta topiladiki, unda ..... bo‘ladi.
   

A) f ′(c)>0 ; B) f ′(c)<0 ; C) f ′(c)=0 ; D) f ′(c)≠0 ; E) f ′(c)= f (c).

2. 
   f(x)=xsinx funksiya uchun Roll teoremasi qaysi kesmada o‘rinli?
   

A) [0, 1] ; B) [0, π/2] ; C) [0, π] ; D) [2, π] ; E) [π/2, π] .

3. 
   f(x)=x²–6x+9, x[1,5], funksiya uchun Roll teoremasining tasdig‘i o‘rinli bo‘ladigan c nuqtani toping.
   

A) c=1,5 ; B) c=2 ; C) c=2,5 ; D) c=3 ; A) c=4,5 .

4. 
   f(x)=x²–2x+9, x[0,4], funksiya uchun Lagranj teoremasining tasdig‘i o‘rinli bo‘ladigan c nuqtani toping.
   

A) c=1 ; B) c=1,5 ; C) c=2 ; D) c=2,5 ; E) c=3 .

5. 
   Agar f(x)=x³+8, g(x)=x³+x+1 va x[–1,2] bo‘lsa, Koshi teoremasining tasdig‘i o‘rinli bo‘ladigan c nuqtani toping.
   

A) c=–0,5 ; B) c=0 ; C) c=0,5 ; D) c=1 ; E) c=1,5 .


Mustaqil ish topshiriqlari

1. 
   funksiya uchun [0,1] kesmada Roll teoremasi shartlari bajarilishini tekshiring va teorema tasdig‘idagi x=c nuqtani toping.
   

2. 
   funksiya uchun [0,π] kesmada Lagranj teoremasi shartlari bajarilishini tekshiring va teorema tasdig‘idagi x=c nuqtani toping.