Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

Lagranj teoremasi. Endi yana bir farang matematigi Lagranj (1736-1813) nomi bilan ataladigan teoremani qaraymiz.

2-TEOREMA (Lagranj teoremasi): Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va kesmaning ichida differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda (a,b) oraliqda kamida bitta shunday “c” nuqta topiladiki, unda
(1)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Teorema shartini qanoatlantiruvchi y=f(x) funksiya orqali ushbu yordamchi funksiyani kiritamiz:
.
Teorema shartiga asosan bu funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va uning ichki nuqtalarida differensiallanuvchi. Bundan tashqari bu funksiya chegaraviy nuqtalarda (a)=(b)=0 shartni qanoatlantiradi. Shu sababli, Roll teoremasiga asosan, kamida bitta shunday c(a,b) nuqta mavjudki, unda (c)=0 tenglik bajariladi. Bu yerdan
natijani, ya’ni teorema tasdig‘ini olamiz.
Lagranj teoremasining geometrik ma’nosi aniqlash uchun (1) tenglikning o‘ng tomonidagi f ′(c) hosila y=f(x), x [a,b] , funksiya grafigini ifodalovchi AB egri chiziqning (56-rasmga qarang) biror C(c, f(c)) nuqtasiga o‘tkazilgan l urinmasining, chap tomonidagi kasr esa uning A(a, f(a)) va B(b, f(b)) nuqtalarini tutashtiruvchi AB vatarining burchak koeffitsiyentini bo‘ladi.

Demak, ikkita to‘g‘ri chiziqning parallellik shartiga asosan (V bob,§2, (5) tenglikka qarang), AB egri chiziqning kamida bitta nuqtasidagi l urinma uning AB vatariga parallel joylashgan bo‘ladi.
Misol sifatida f(x)=αx³–2αx² +βx+γ funksiyani [0,1] kesmada qaraymiz. Bunda α, β va γ–ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Bu holda Lagranj teoremasini barcha shartlari bajariladi va
.
Endi (1) tenglik bajariladigan c nuqtani topib, 0<c<1 ekanligini tekshiramiz:

Izoh: Agar f(b)–f(a)=∆f–funksiya orttirmasi, b–a=∆x–argument orttirmasi ekanligini hisobga olsak, (1) tenglik ∆f=f ′(c)∙∆x ko‘rinishni oladi va orttirmalar orasidagi munosabatni ifodalaydi. Shu sababli (1) tenglik chekli orttirmalar yoki Lagranj formulasi deb ataladi.
Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, Lagranj teoremasi Roll teoremasidan keltirib chiqarildi. Ammo Roll teoremasi o‘z navbatida Lagranj teoremasining xususiy holi bo‘lib, undan f(a)=f(b) holda kelib chiqadi.

3.