Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

Koshi teoremasi. Lagranj teoremasini farang matematigi Koshining (1789 - 1857) ushbu teoremasi umumlashtiradi.

3-TEOREMA (Koshi teoremasi): Berilgan y=f(x) va y=g(x) funksiyalar [a,b] kesmada uzluksiz va uning ichki nuqtalarida differensiallanuvchi hamda (a,b) oraliqda g(x)0 bo‘lsin. Bu holda kamida bitta shunday c(a,b) nuqta
topiladiki, unda
(2)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: Teorema shartiga ko‘ra ixtiyoriy x(a,b) uchun g(x)0 ekanligidan g(b)g(a) xulosa kelib chiqadi. Haqiqatan ham, agar g(b)=g(a) bo‘lsa, unda Roll teoremasiga asosan, kamida bitta c(a,b) nuqtada g(c)=0 bo‘lar edi. Bu esa teorema shartiga zid. Shu sababli quyidagi yordamchi funksiyani kiritish mumkin:
.
Teorema shartlarida bu funksiya [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lib,



hosilaga ega. Bulardan tashqari kiritilgan yordamchi F(x) funksiya F(a)=F(b)=0 shartni ham qanoatlantirishini tekshirib ko‘rishimiz mumkin. Demak, F(x) funksiya [a,b] kesmada Roll teoremasining hamma shartlarini qanoatlantiradi. Shuning uchun [a,b] kesma ichida kamida bitta shunday c nuqta (a<c<b) topiladiki, unda F(c)=0, ya’ni

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglikdan bevosita teorema tasdig‘i bo‘lgan (2) formula kelib chiqadi.
Masalan, Koshi teoremasini [0,1] kesmada
f(x)=Ax²+Bx+C , g(x)=(A+B)x+2A (A, B, C(–∞, ∞) va A+B≠0)
ko‘rinishdagi funksiyalar uchun qaraymiz. Bu holda

Demak, ko‘rilayotgan funksiyalar uchun Koshi teoremasi tasdig‘i c=0,5(0,1) nuqtada bajariladi.