Funksiya hosilasi, uning mexanik geometrik va iqtisodiy ma’nosi

5-qoida: Berilgan y=f(u) murakkab funksiyada tashqi f(u) va ichki u(x) funksiyalar argumentlari bo‘yicha differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu holda y=f(u) murakkab funksiya x bo‘yicha differensiallanuvchi bo‘lib, uning hosilasi
(13)
formula bilan, ya’ni tashqi va ichki funksiyalar hosilalarining ko‘paytmasi kabi topiladi.
Isbot: u(x) funksiya differensiallanuvchi ekanligidan uning uzluksizligi kelib chiqadi va shu sababli x0 => u0 bo‘ladi. Bu yerdan, hosila ta’rifi va limit hisoblash qoidalariga asosan ,
,
ya’ni y=f(u) murakkab funksiya differensiallanuvchi va (13) formula o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Masalan, (sinx²)= (u=x²) =(sinu)_x =(sinu)_u  u =cosu∙(x²)′=2xcosx² ,
(sin²x)= (u=sinx) =(u²)_x =(u²)_u  u =2u∙(sinx)′=2sinx∙cosx=sin2x .
Bu qoidadan foydalanib, y=x^ (α–ixtiyoriy haqiqiy son), x(0, ∞), darajali funksiyaning differensiallanuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun darajali funksiyani ko‘rinishdagi murakkab ko‘rsatkichli funksiya kabi ifodalaymiz. Unda, (13) formula, ko‘rsatkichli va logarifmik funksiya hosilasidan foydalanib,
natijaga kelamiz. Demak, y=x^, x(0,∞), darajali funksiya differensiallanuvchi va uning hosilasi
(14)
formula orqali hisoblanadi. Masalan,
,
.
Izoh: (15) formula nafaqat x(0, ∞) sohada, balkim y=x^α–1 funksiyaning aniqlanish sohasida ham o‘rinli bo‘ladi. Jumladan, α=nN, ya’ni natural son bo‘lsa, (15) formula ixtiyoriy x(–∞, ∞), α= –nZ^–, ya’ni manfiy butun son bo‘lganda esa barcha x≠0 uchun o‘rinli bo‘ladi.

3.