Funksiyani hosila yordamida tckshirish va grafigini

8.6.16- misol. Ushbu y =e^-3x +2 funksiya grafigining og‘ma asimptotalarini toping.
Yechilishi. Og‘ma asimptotalarni topamiz:

y y


y=2

x _x

8.9-chizma.
8.10-chizma.

k₁= lim ^у  lim
_е3x _{ 2}

 0, k₂= lim ^у  lim

_е3x _{ 2}

 ,

x _x
x _x
x _x
x _x

b₁= lim( y  k x)  lim(e^3x  2)  2

x
¹ x

Demak, 8.6.12-teoremaga ko‘ra, y =2 to‘g‘ri chiziq berilgan
funksiyaning faqat o‘ng og‘ma asimptotasi bo‘ladi (8.9-chizma).
8.6.17-eslatma. Berilgan y  f x funksiya uchun faqat
lim ^{f (x)}  k mavjud
x _x

bo‘lib,
lim[ f (x)  kx]
x
mavjud bo‘lmasa (yoki cheksiz) bo‘lsa, berilgan

funksiya grafigi asimptotaga ega bo‘lmaydi, lekin asimptotik
yo‘nalishga ega bo‘ladi. Masalan, y = parabola O x o‘qiga parallel
bo‘lgan asimptotik yo‘nalishga ega, lekin gorizontal asimptotaga ega emas (7.10-chizma):

k= lim ^у  lim
 0,
b= lim ( y  kx) 
lim
  .

x _x
x _x
x
x

8.6.18-misol. Quyidagi
f x= ^х 2 ^{ 10}
х  3
funksiya grafigi uchun

y = x +3 to‘g‘ri chiziq og‘ma asimptota bo‘lishini ko‘rsating.

Yechilishi. Berilgan funksiyaning ko‘rinishini quyidagicha

o‘zgartirib,
f x= x +3-
1


х  3
ni hosil qilamiz. Bunda x ± da ( x )=-

1


х  3
0 uchun,
f x
funksiyani
f x= x +3+( x ) ko‘rinishda ifodalash

mumkin. Demak, 4-ta’rifga ko‘ra, y = x +3 to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining og‘ma asimptotasi bo‘ladi.

7. Funksiyalarni to‘liq tekshirish va ularning grafiklarini chizish

Biz III bobning yuqoridagi paragraflarida funksiyalarning o‘zgarish xarakterini hosilalar yordamida o‘rgandik. Funksiyaning o‘zgarish xarakterini hosila yordamida o‘rganish funksiya grafigini aniqroq yasashda muhim rol o‘ynaydi.

Funksiyalarni to‘liq tekshirish va ularning grafiklarini yasashni quyidagi sxema bo‘yicha olib borish maqsadga muvofiq bo‘ladi:

1. 
   Funksiyaning aniqlanish sohasini topish;
   
2. 
   Funksiyani uzluksizlikka tekshirish va uzilish nuqtalarini topish;
   
3. 
   Funksiyaning juft, toqligi hamda davriyligini aniqlash;
   
4. 
   Funksiya grafigining o‘qlar bilan kesishish nuqtalarini topish;
   
5. 
   Funksiyaning ishorasi saqlanadigan oraliqlarni aniqlash;
   
6. 
   Funksiya grafigining asimptotalarini topish;
   
7. 
   Funksiyaning monotonlik oraliqlarini topish va ekstremumga tekshirish;
   
8. 
   Funksiya grafigining qavariqligi hamda botiqligini aniqlash, egilish nuqtalarini topish;
   
9. 
   Funksiyaning grafigini chizish.
   

3
8.7.1- misol. Ushbu    ^x
funksiyani to‘liq tekshiring va

f x
63  x2
uning grafigini chizing.

3
Yechilishi. 1 Funksiyaning aniqlanish sohasi:
D f    ; 3 3;  .

2. x  3
funksiyaning 2-tur uzilish nuqtasi:
lim
f x 
lim ^x   .

x30
^x30 6(3  x)

3. 
   
   2
   Shuningdek funksiya davriy ham emas, juft ham emas, toq ham
   

emas, chunki
f  x
_ (x³ ) 63  x2
 ^x3  ^
43  x2 _
f x,

_

.
f x.

3. 
   Funksiyaning koordinatalar o‘qlari bilan kesishishi:
   

Oy o‘qi bilan
x  0 da
y  0
bo‘ladi;

Ox o‘qi bilan y  0 bo‘lganda
x  0
bo‘ladi.

Shunday qilib, bitta
O0; 0
nuqtada kesishadi.

3. 
   Funksiyaning ishorasi saqlanadigan oraliqlarni aniqlaymiz, aniqlanish sohasini nuqtalar yordamida funksiya nolga teng bo‘ladigan oraliqlarga ajratamiz. Bu oraliqlarning har birida funksiyaning ishorasini tekshiramiz natijada quyidagi jadvalni tuzamiz:
   

X	 ; 0	0	0; 3	3	3;  
sign y	_	0	+		+
y  f x funksiya grafigining joylanishi	Ox o‘qdan pastda		Ox o‘qdan yuqorida		Ox o‘qdan yuqorida

7. Funksiya grafigining asimptotalarini topamiz:

1. 
   O y o‘qqa parallel to‘g‘ri chiziqlar –vertikal asimptotalar bo‘ladi.
   

_x3

x3
lim _{63  x2}  
bo‘lgani uchun x =3 to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota.

2. 
   O x o‘qqa parallel to‘g‘ri chiziqlar-gorizontal asimptotalar bo‘ladi. Funksiyaning grafigi gorizontal asimptotaga ega emas.
   


g) O x va O y o‘qlarga parallel bo‘lmagan to‘g‘ri chiziqlar og‘ma asimptotalar bo‘ladi, ya’ni y =k x +b og‘ma asimptotaning formulasidan k va b larni hisoblaymiz:

k  lim
_x3 ₁
2
lim
1 _ 1 _.

^x 6x3  x
₆ x
_6 3

 _x

 1^{ 6}




b 
^ x³
lim

• 
  ¹ x^  lim
  

x³  x3  x2
 ¹ lim


6x²  9x

 1.




^{x }63  x2
_{6 } x
63  x2
₆ x
3  x2

Demak, y = ¹ x +1 - to‘g‘ri chiziq og‘ma asimptota bo‘ladi.
6

6. 
   
   ^ 
   Funksiyaning monotonlik oraliqlari va ekstremum qiymatlarini
   

topamiz: y
x² x  9 63  x3 ^.

1. 
   x =0, x =9 nuqtalarda y^ =0 bo‘ladi.
   
2. 
   ^x =3 nuqtada y^ = bo‘ladi.
   

y^ 
x² x  9
^0, 6x  93 ^{ 0}
 x
 3x
 9 0 
 ;3
[9;)

y^  0,
_ x  3x  9 0

^x  3

x (3;9] _.

8

 
y (9)  ²⁷ . A^9; ^{27 } - berilgan funksiya grafigining minimum nuqtasi

min ₈ ^{ }

bo‘ladi.

X	(-  ^;0)	0	(0;3)	3	(3;9)	+	^(^9; ^)
sign y ^//	+	0	+		-	0	+
funksiyaning o‘zgarishi		0				27 8

6. 
   Funksiyaning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini topamiz, buning uchun ikkinchi tartibli hosilani hisoblaymiz:
   

y^  _
9x <sub>.

</sub>4
x  3

x =0 va x =3 nuqtalar berilgan funksiyaning 2-tur kritik nuqtalari

bo‘ladi. x =0 bo‘lganda y^
Endi jadval tuzamiz:
(0)  0,
^x =3 bo‘lganda esa ^y (3)=  bo‘ladi.

X sign y^	^(- ^;0)	0	(0;3)	3	^(3;+ ^)
	-	0	+		+
Funksiya grafiginig qavariqlik yo‘nalishi		0			

Funksiyaning grafigi 8.11-chizmada tasvirlangan.

8.11-chizma.

8. Teylor formulasi

Tabiatda ko‘pgina masalalar ning berilgan nuqtadagi qiymatini topishga bog‘liq bo‘ladi. Funksiya murakkab bo‘lgan hollarda funksiyaning berilgan nuqtadagi qiymatini hisoblash har doim yengil bo‘lavermaydi. Bunday hollarda, nuqtadagi qiymatini hisoblash noqulay bo‘lgan funksiyani o‘ziga qaraganda sodda va hisoblash uchun qulay bo‘lgan funksiyaga yaqinlashtirish-almashtirishga to‘g‘ri keladi. Berilgan f(x) funksiyani biror g(x) funksiyaga yaqinlashtirish- almashtirishda quyidagi ikki momentni e’tiborga olish muhimdir:

1. 
   f (x) ga yaqinlashadigan g(x) funksiyaning tanlab olinishi va
   

uning tuzilishi (soddaligi, hisoblash uchun qulayligi);

2. 
   f(x) ni g(x) ga yaqinlashtirishdagi qo‘yilgan xatolikni aniqlash va uni hisoblash.
   

Odatda yaqinlashadigan funksiya sifatida butun rasional P_n(x)
ko‘phad olinadi.

1885 yilda buyuk nemis matematigi K.Veyshtrass
[a,b]
kesmada

uzluksiz bo‘lgan f(x) funksiyani P_n(x) ko‘phad bilan yaqinlashtirish mumkinligi haqida teoremani isbot qiladi, lekin bu teorema P_n(f)=f(x)- P_n(x) ayirmani baholash va uning nolga intilish tartibini aniqlab bermaydi. Keyingi yillardagi ilmiy izlanishlar P_n(f) ning nolga intilish tartibi yaqinlashtiriladigan f(x) funksiyaning hosilalarga ega bo‘lishiga bog‘liq ekanligini ko‘rsatdi.
f(x) funksiya biror x₀ nuqtaning atrofida yuqori tartibli hosilalarga ega bo‘lsa, bu hosilalardan foydalanib, avvalo P_n(x) ko‘p hadni tuzish va f(x) funksiyani bu ko‘p had bilan yaqinlashtirish masalasini qarash mumkin bo‘ladi. Bu masalani yechishda Teylor formulasi muhim rol o‘ynaydi.