Funksiyani hosila yordamida tckshirish va grafigini

8.8.1-teorema (Teylor teoremasi). f(x) funksiya biror a nuqtaning atrofida n+1 tartibgacha hosilalarga ega, x-funksiya argumentining a nuqtaning atrofidagi ixtiyoriy qiymati, r – ixtiyoriy musbat son bo‘lsin. U holda a va x nuqtalar orasida shunday  nuqta topiladiki, bu nuqtada

f (x)  (a) 
f '(a) 1!
(x  a) 
f ''(a) 2!
(x  a)²
 ... 
f ⁽ⁿ⁾ (a)


n!
(x  a)ⁿ
 R_n1 (x)
(1)

formula o‘rinli bo‘ladi, bunda
 x  a  p

(x   )^n1

R (x)    

 f ^(n1) ( ).

(2)

n1 _{ x   }
n! p

 

1. 
   formulaga Teylor formulasi deyiladi, R_n+1(x) ifoda esa Teylor formulasining qoldiq hadi deyiladi. Odatda, (2) ko‘rinishdagi qoldiq hadni umumiy ko‘rinishdagi qoldiq had deb ham yuritiladi.
   

Teylor formulasidan kengroq foydalanish maqsadida, uning qoldiq hadining umumiy ko‘rinishi (2) dan xususiy holda kelib chiqadigan quyidagi turli xil ko‘rinishlarini keltiramiz:

R_n1 (x) 
(x  a)^n1
(n  1)!
_f (n1)
[a   (x  a)],
(3)

R_n1 (x) 
(x  a)^n1  (1   )ⁿ
n!
_{ f} (n1)
[a  (x  a)],


(4)

n1
R (x)  0[( x  a)ⁿ ] .
(5)

Qoldiq hadning bu ko‘rinishlari, mos ravishda, qoldiq hadning Lagranj, Koshi va Peano ko‘rinishlari deyiladi.
8.8.2-eslatma. Peano ko‘rinishidagi qoldiq hadni keltirib chiqarishda 1-teoremadagi f(x) funksiyaga nisbatan quyilgan shartni
«yengillashtirish» mumkin, ya’ni, f(x) funksiya a nuqtaning atrofida

f '(x), f ''(x),...., f ⁽ⁿ⁾ (x)
hosilalarga ega bo‘lib, f⁽ⁿ⁾(x) hosila esa a nuqtada

uzluksiz bo‘lsin degan shart yetarli.
Yechilayotgan masalaning xususiyatiga qarab, u yoki bu ko‘rinishdagi qoldiq hadli Teylor formulasidan foydalaniladi. Masalan,
a nuqta atrofidagi x(x  a) nuqtalarda f(x) funksiyaning qiymatlarini
hisoblash kerak bo‘lganda, Koshi yoki Lagranj ko‘rinishdagi qoldiq

hadli Teylor formulasidan foydalanilgan ma’qul. Agar
x  a
da qoldiq

hadning nolga intilish tartibini bilish lozim bo‘lsa, u holda Peano ko‘rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasidan foydalanish qulay bo‘ladi.
f(x) funksiyaning (1) Teylor formulasida a=0 deb olinsa, ushbu

f (x) 
f (0) 
f '(0) _{x }
1!
f ''(0) _{x 2}
2!
 ... 
f ⁽ⁿ⁾ (0)
_xn
n!
 R_n1 (x)
(5)

formula hosil bo‘ladi. Odatda bu formulani Makleron formulasi deyiladi. Bu holda qoldiq had R_n+1(x) quyidagicha:

1. 
   Lagranj ko‘rinishida:
   

 _xn1
(n1) _
(6)

R_n1 (x)

2. 
   Koshi ko‘rinishida:
   

f
(n  1)!
( x) ;

R_n1 (x) 
x^n1 (1  0)ⁿ
n!
_f (n1)
(x) ;
(7)

n1
3) R (x)  0(xⁿ ) .
(0    1)
(8)

yozilishi mumkin.

Ko‘p hollarda, (1) Teylor formulasi quyidagi ko‘rinishda ham ^{yoziladi: (1) formulada a=x0, x-a=}  ^{x, qoldiq hadni Lagranj ko‘rinishida} olinsa,

f '(x )
f ''(x )
f ⁽ⁿ⁾(x )

f (x  x)  f (x
)  ⁰ x  ⁰ (x)²  ...  ⁰ (x)ⁿ 

0


_f (n1)_(x
⁰ 1! 2! n!
 x)

 ⁰  (x)^n1
(n  1)!
(0  0  1)!
(9)

formula hosil bo‘ladi. (9) Teylor formulasi chekli orttirmalar haqidagi Lagranj formulasining umumlashmasi bo‘lib hisoblanadi (-§ga qarang). Xususiy holda (9) dan n=0 deb olish bilan Lagranj formulasi kelib chiqadi.
Ixtiyoriy funksiya uchun Lagranj ko‘rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasini qaraymiz va uning qoldiq hadini baholaymiz.
Agar shunday o‘zgarmas M son mavjud bo‘lib, argument x ning

x₀=0 nuqta atrofidagi barcha qiymatlarida hamda
n N
uchun

tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, u holda ushbu

R_n1 (x) 
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
f ⁽ⁿ⁾ (x)  M
 M 
(n  1)!
(10)

x ning har bir belgilangan qiymatida


lim  0
^n (n 1)!
bo‘lishini e’tiborga olsak, u holda n ning yetarli katta qiymatlarida
R_n+1(x) ning yetarli kichik bo‘lishiga ishonch hosil qilamiz. Bu holda x₀
= 0 nuqtaning atrofida f(x) funksiyani

f (x) 
f '(0) _{x }
1!
f ''(0) _x2
2!
 ... 
f ⁽ⁿ⁾ (0)
_xn
n!

ko‘p had bilan taqribiy almashtirish mumkin bo‘ladi:

f (0) 
f (0) 
f '(0) _{x }
1!
f ''(0) _x2
2!
 ... 
f ⁽ⁿ⁾ (0)


n!
xⁿ .
(11)

Agar f(x) funksiya x₀ =0 nuqtaning atrofida istalgan tartibdagi hosilaga (cheksiz differensiallanuvchi) ega bo‘lganda:

1. 
   agar f(x) – juft bo‘lsa, u holda
   

n N
uchun

f (x)  _
k 0
f ^2k (0) (2k)!
x^2k  R (x) ;


(12)

2. 
   
   2n1
   
   2n2
   agar f(x) – toq bo‘lsa, u holda
   

n N
uchun

f (x)  _
k 0
_f (2k 1)


(2k 1)!
x^2k1  R (x) ;


(13)

bo‘ladi.

9. Elementar funksiyalar uchun Makloren formulasi

f(x)=e^x, f(x)=sinx, f(x)=shx, f(x)=cosx, f(x)=chx, f(x)=(1+x)^m, f(x)=ln(1+x) funksiyalar uchun Peano ko‘rinishidagi qoldiq hadli Makloren formulasi quyidagicha bo‘ladi:

2
e^x  1  ^x  ^x
1! 2!
 ...  ^x

n
n!

• 
  o(xⁿ ),
  

(14)

3
sin x  x  ^x
3!

• 
  _x5
  

5!
 .... 
_(1)n _x 2n1
(2n  1)!
 0(x
2n2 _),
(15)

3
s h x  x  ^x
3!

• 
  _x5
  

5!
 .... 
_x 2n1


(2n  1)!
 0(x
2n2 _),


(16)

2
cos x  1  ^x
2!

• 
  _x 4
  

4!
  (1)ⁿ
_x 2n

(2n)!

 0(x
2n1 _),


(17)

2
chx  1  ^x
2!

• 
  _x 4
  

4!
 .... 
_x 2n

(2n)!

 0(x
2n1 _),


(18)

_{(1  x)m  1  mx } m(m  1) _{x 2  .... } m(m  1)....(m  (n  1)) _{xn  0(xn ) ,}
(19)

yoki
m _ k k
2!
n 0 k
n!
 ( 1) (  (k 1))

n
(1 x)
 C_ x
k 0
 0(x ) , C_  1, C_ 
, k  1,2,...
k!
(19')

Xususiy holda,

1

1  x
1


1  x



n

 _(1)^k x^k  0 (xⁿ ) ,

k 0



 _x^k  0 (xⁿ ) ,
k 0
(20)


(21)

2
ln(1  x)  x  ^x
2

• 
  _x3
  

3
 ... 
(1)^n1 xⁿ
n
 0(xⁿ )
(22)

Agar



ln(1  x)  _
k 1
n
^x  0(xⁿ )

k
k
(23)

bo‘lsa,
f (x)  _a_k (x  x₀ )^k  0((x  x₀ )ⁿ ),
k 0



g(x)  _b_k (x  x₀ )^k  0((x  x₀ )ⁿ )
k 0

f (x)  g(x)  _(a_k  b_k )x^k  0((x  x₀ )ⁿ ),
k 0
(24)

f (x)  g(x)  _C_k (x  x₀ )^k  0((x  x₀ )ⁿ ),

n

k 0
C_k  _a_pb_k  p. (25)
p0