Funksiyani hosila yordamida tckshirish va grafigini

a ) Ekstremum mavjud bo‘lishining birinchi yetarli sharti.

x₀ (a,b) nuqtaning



0
U ^ x   {x  R : x    x  x ;   0},
0 0



0
U ^ x
  {x  R :
x₀  x  x₀
  ;   0}

chap va o‘ng atroflarini qaraymiz.

∘
Faraz qilaylik, y  f ^x^ funksiya x nuqtada uzluksiz bo‘lib, U x  da
0  0
chekli f ^x hosilaga ega bo‘lsin ( x nuqtada hosila mavjud bo‘lmasligi
0

ham mumkin).

1. 
   
   
   
   0
   Agar x U ^ x 
   

bo‘lsa,

uchun,
f ^x  0



0
, x U ^ x 

uchun
f ^x 0

ya’ni f ^/ x
hosila x₀ nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «+» dan «-» ga





0

0
o‘zgartirsa, chizma).
f xfunksiya x nuqtada lokal maksimumga erishadi (8.5-
0

2. 
   Agar
   

x U ^ x  uchun
f ^x 0 ,
x U ^ x
 uchun
f ^x  0
bo‘lsa,

8.5-chizma. 8.6-chizma.

ya’ni
f ^/ x
hosila x₀ nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «-» dan «+» ga

o‘zgartirsa nuqtada minimumga erishadi (8.6-chizma) Agar



0
x U ^ x  uchun f ^x  0 ,



0
x U ^ x  uchun f ^x  0

yoki
x U ^ x  uchun
f ^x 0 ,





0

0
x U ^ x  uchun
f ^x 0

bo‘lsa,
f x funksiya
x₀ nuqtada ekstremumga erishmaydi.

y  f x
funksiyaga ekstremum qiymat beruvchi nuqtalarni

birinchi tartibli hosila yordamida topish qoidasi:

1. 
   f ^x hosila topiladi.
   

2. 
   y  f x funksiyaning kritik nuqtalari, ya’ni
   

f ^x
hosila nolga

aylanadigan yoki uzilishga ega bo‘lgan nuqtalar topiladi.

3. 
   Topilgan kritik nuqtalar f x funksiyaning aniqlanish sohasini
   

oraliqlarga ajratadi, shu oraliqlarda f ^x hosilaning ishorasi tekshiriladi.

4. 
   Funksiyaning ekstremum nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi.
   

8.2.4- misol.

tekshiring.
f (x)  ^x

4
4
 2x³
_ 11 _x2
2
 6x  3
funksiyani ekstremumga

Yechilishi. Berilgan funksiya differensiallanuvchi.
x  R
uchun aniqlangan va

1. f ^/ x  x³  6x² 11x  6.
2. f ^/ x  0  x³  6x² 11x  6  0  x 1x  2x  3  0 ,

bundan kritik nuqtalar
x₁  1, x₂  2,
x₃  3
ekanligini topamiz.

3. 
   Oraliqlar usuli yordamida quyidagi jadvalni tuzamiz:
   

x	(;1)	1; 2	2; 3	3;  
f ^x	–		–	
f x

3. 
   Ekstremum mavjud bo‘lishining birinchi yetarli shartiga asosan
   

^f min
(1)  ³;
4
^fmax
(2)  1,
^fmin
(3)  ³
4
bo‘lishini topamiz.

2. Ekstremum mavjud bo‘lishining ikkinchi yetarli sharti. x₀

0
nuqta f (x) funksiyaning stasionar nuqtasi, ya’ni f ^x ^  0 bo‘lsin. Agar

f (x)
funksiyaning x₀ nuqtadagi ikkinchi tartibli hosilasi mavjud bo‘lib,

0

0
f ^x
 0  f ^x   0
bo‘lsa, f ( x ) funksiya
x₀ nuqtada maksimumga

(minimumga) erishadi.
y  f x funksiyaga ekstremum qiymat beruvchi nuqtalarni ikkinchi
tartibli hosila yordamida topish qoidasi:

1. 
   f '(x) hosila topiladi.
   

2. 
   Berilgan funksiyaning kritik nuqtalari, ya’ni nuqtalar topiladi.
   
3. 
   Ikkinchi tartibli hosila f ^x topiladi.
   

f ^x  0
bo‘ladigan

4. 
   Ikkinchi tartibli hosilaning ishorasi har bir kritik nuqtada
   

tekshiriladi. Bunda agar ikkinchi tartibli hosila manfiy bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada maksimumga, musbat bo‘lsa, minimumga ega bo‘ladi. Agar ikkinchi tartibli hosila nolga teng bo‘lsa, u holda funksiyaning ekstremumini birinchi yetarli shart bo‘yicha tekshirish yoki yuqori tartibli hosilalardan foydalanib tekshirishga to‘g‘ri keladi ( c) bandga qarang).

5. 
   Funksiyaning ekstremum nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi.
   

8.2.5-misol.

f x  x³  9x²  24x 12
funksiyani ikkinchi tartibli hosila

yordamida ekstremumga tekshiring.
Yechilishi. Berilgan funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarini topamiz:
f ^/ x  3x² 18x  24  3x²  6x  8  f ^// x  6x  3.
3x²  6x  8 0 ^{tenglamadan x  2, x  4 stasionar nuqtalarni topamiz.}
1 2
Topilgan ikkinchi tartibli hosilalarning har bir stasionar nuqtalardagi

ishoralarini aniqlaymiz:
f ^// 2  6  0,
f ^// 4  6  0 .

Demak,
x₁  2
nuqtada funksiya maksimumga
f_max (2)  8,
x₂  4
nuqtada

funksiya minimumga
f_min (4)  4
ega bo‘ladi.

2. Ekstremum mavjud bo‘lishining uchinchi yetarli sharti. f ( x )

funksiyaning
x₀ (a,b)
nuqtada
f ^(x ), f ^ (x ),..., f ^{( n )} (x )
hosilalari mavjud

0 0 0
bo‘lib, biror n>2 son uchun
f ^(x ) 
f ^ (x₀ )  ...=

0

0
 f ^{( n1)} (x )  0,
f ^{( n )} (x )  0
bo‘lsin.

0
Agar: a) n juft son bo‘lib (n=2m, mN),
f ^{( n )} (x ) 
f ^{( 2 m )} (x )  0

0

0

0
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, f ( x ) funksiya x₀ nuqtada maksimumga;

0
f ^{( n )} (x ) 
_f ( 2 m ) _(x
)  0
tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,
f x
funksiya
x₀ nuqtada

minimumga ega bo‘ladi.
b) n toq son bo‘lsa (n=2m+1, mN), f ( ^x ) funksiya ekstremumga ega bo‘lmaydi.

8.2.6- misol. Ushbu
tekshiring.
f x  x  cⁿ
funksiyani ekstremumga

Yechilishi. Ravshanki,
f ^(c)  f ⁽²⁾ (c)  ...  f ^(n1) (c)  0,
f ⁽ⁿ⁾ (c)  n! 0

bo‘ladi. Ekstremumning uchinchi yetarli shartiga ko‘ra, n juft bo‘lganda

funksiya
x  c
nuqtada minimumga ega bo‘ladi, n toq bo‘lganda esa

ekstremumga ega bo‘lmaydi.

3. Funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini toppish

f x
funksiya a; b
segmentda aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin.

Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga ko‘ra funksiyaning a; b
da eng

katta, hamda eng kichik qiymatlari mavjud bo‘ladi va bu qiymatlarga segmentning nuqtalarida erishadi.
Funksiyaning eng katta qiymati quyidagicha topiladi:

1) f x
funksiyaninga; b
oraliqdagi maksimum qiymatlari topiladi.

f (x)
funksiyaning a; b
dagi hamma maksimum qiymatlaridan iborat

to‘plam
max f x bo‘lsin.

2) f (x)
funksiyaning a; b segmentning chegarasidagi, ya’ni
x  a, x  b

nuqtalardagi
f a va
f b
qiymatlari hisoblanadi. So‘ngra
max f x

to‘plamning barcha elementlari bilan
f a va
f b
lar taqqoslanadi. Bu

qiymatlar ichida eng kattasi
f x
funksiyaning a; b
dagi eng katta

qiymati bo‘ladi. Xuddi shu usulda funksiyaning eng kichik qiymati ham topiladi.
Biror oraliqda uzluksiz bo‘lgan funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun:

1. 
   bu oraliqda funksiyaning tegishli stasionar nuqtalarini topish, bu topilgan stasionar nuqtalarni ekstremumga tekshirish va funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini hisoblash;
   
2. 
   funksiyaning oraliqning chetki nuqtalaridagi qiymatlarini topish ;
   
3. 
   topilgan qiymatlarni funksiyaning oraliqning ichidagi nuqtalarida ekstremum qiymatlari bilan solishtirish kerak; bu qiymatlarning eng kichigi va eng kattasi, mos ravishda, funksiyaning qaralayotgan oraliqdagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo‘ladi.